三角形全等的判定
类型之一:已知：如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB=DE、AC=DF、BE=CF。 求证：△ABC≌△DEF。
类型之二:已知：如图，∠1=∠2，∠ABC=∠DCB。求证：AB=DC。【答案】
A
B
C
证明：
类型之三:已知：在△ABC中，AD为BC边上的中线，CE⊥AD，BF⊥AD。求证：CE=BF
类型之四:综合
已知：如图，AB=DE，BC=EF，CD=FA，∠A= ∠D。求证：∠B= ∠E。【答案】证明：
1. 已知：如图，AB=DC，AE=DF，CE=FB，求证：AF=DE。 证明：
2. 已知：如图，△ABC中，D是BC的中点，∠1=∠2，求证：AB=AC。
A
F
EC
D
B
1．如图两根长度相同的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相
等吗？说明你的理由．?
【解析】审好题目相当于做对这道题的一半！所以，实际应用的题目一定要仔细审清题目，找出各个量之间的关系．?
本题关键是要将实际生活的语言说明转化为数学上的各个量的关系．“由长度相同的绳子”可知AB＝AC，而要求的是木桩B、C与O之间的距离关系，即求证BO＝CO．有了明确的已知、求证，剩下的就是纯粹的全等证明了．
【答案】相等．?
证明：∵由题意AO⊥BC ∴∠AOB＝∠AOC＝90°?
∴Rt△AOB≌Rt△AOC（HL） ∴BO＝CO
2．已知：如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD，求证：BE⊥AC。
【解析】本题考察“HL”公理的应用。要证BE⊥AC，可∠1=90°，只需证∠2=∠C。从而转化为证明它们所在的△BDF“HL”公理不难得证。
【答案】
AB
D
CE
证∠C+∠1=90°，而∠2+与△ADC全等，而这由
证明：∵AD⊥BC
∴∠BDA=∠ADC=90°
∴∠1+∠2=90°
在Rt△BDF和Rt△ADC中
BF AC
FD CD
∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）∴∠2=∠C
∴∠1+∠C=90°
∴∠BEC=90°
∴BE⊥AC
1. 已知：如图AC=BD，∠CAB=∠DBA。求证：∠CAD=∠DBC。
【解析】由已知，再加上一组公共边等，可以得到△ABC与△BAD全等，由性质得对应角相等，再由等量公理可得证。
【答案】
证明：在△ABC和△BAD中，
AB AB(公共边)
CAB DBA(已知) AC BD(已知)
∴△ABC≌△BAD（SAS）
∴∠CBA=∠DAB（全等三角形对应角相等） 又∵∠CAB=∠DBA（已知）
∴∠CAB-∠DAB=∠DBA-∠CBA（等量减等量差相等） ∴∠CAD=∠DBC。
2. 已知，如图，HI∥BC，JI∥AB。求证：△BIH≌△
IBJ
【解析】从已知寻找三角形全等的条件：由平行，可以得角等，又有一组公共边，因此选择用角边角公理可证明。 【答案】 证明：∵HI∥BC
∴∠HIB=∠JBI（两直线平行，内错角相等）
∵JI∥BA
∴∠HBI=∠JIB（两直线平行，内错角相等）
HIB JBI(已证)
∴在△BIH与△BIJ中 BI BI(公共边)
HBI JIB(已证)
∴△BIH≌△BIJ（ASA）
1. 已知：如图，AB=DC，AE=DF，CE=FB，求证：AF=DE。
【解析】要证AF=DE，可证△AFB与△DEC全等，但还缺少相关角相等的条件，所以先证△AEB与△DFC全等。 【答案】 证明：∵CE=FB
∴CE+EF=FB+EF，即：CF=BE 在△AEB和△DFC中：
A
F
EC
D
AB CD
AE DF BE CF
∴△AEB ≌△DFC（SSS） ∴∠B= ∠C
在△AFB和△DEC中：
B
AB CD
B C BF CE
∴△AFB ≌△DEC（SAS） ∴AF=DE
说明：本例是一个通过两次全等才能得到结论的题目，第一次全等的证明为第二次全等的证明创造必要的条件。 2. 已知：如图，△ABC中，D是BC的中点，∠1=∠2，求证：AB=AC。
【解析】此题看起来简单，其实不然。题中虽然有三个条件（∠1= ∠2；BD=CD，AD=AD），但无法证明△ABD ≌ACD。因此一定要找到别的角相等才能证明这两个三角形全等，于是要利用角平分线来构造两个全等的三角形。
【答案】
证明：作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F
∵∠1= ∠2，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F
∴DE=DF（角平分线上的点到角的两边的距离相等） ∵D是BC的中点 ∴BD=CD
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F ∴∠BED=90°，∠CFD=90° 在Rt△BDE和Rt△CDF中
BD CD
DE DF
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL） ∴BE=CF 同理可证AE=AF
∴AE+BE=AF+CF即AB=AC
课时作业：
A等级
1、指出下图中的全等三角形各有几对，分别是哪些三角形。 △ABC中，AB=AC，D为BC中点，DE⊥AB，DF⊥
AC
2、指出下图中的全等三角形各有几对，分别是哪些三角形。 OA=OB，
OC=OD
3、指出下图中的全等三角形各有几对，分别是哪些三角形。 △ABC中，AB=AC，AE=AF，AD⊥BC于D
4、判断
( )1.三个角对应相等的两个三角形全等. ( )2.顶角及腰上的高相等的两个等腰三角形全等. ( )3.全等三角形对应的中线相等.
( )4.有一边相等的两个等腰直角三角形全等.
5、△ABC和△A′B′C′中，已知∠A=∠B′，AB=B′C′，增加条件ABC≌△B′C′A′(ASA). 6、△ABC中∠C=90°,BC＞AC，E在BC上，且BE=EA. ∠CAE∶∠B=4∶7,则∠CEA=_____. 7、△ABC中，∠C=90°，BE为角平分线，ED⊥AB于D，若AE+ED=5cm,则AC=_______. 8、四边形ABCD中，边AB=DC，AD=BC，∠B=40°,则∠.
9、△ABC中，AB=AC，两中线BE，CF交于O，则按条件所作图形中共有对全等三角形.
10、如图，AC⊥BE,AC=CE,CB=CF，把△EFC绕点C逆时针旋转90°,E落在______点上，F落在
.
B等级 11、判断
( )1.全等三角形的对应角相等，反之也成立. ( )2.周长为16,一边长为5的两个等腰三角形全等. ( )3.有两个角及一条边相等的两个三角形全等. ( )4.有锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等.
12、BP为∠ABC平分线，D在BP上，PA⊥BA于A，PC⊥BC于C，若∠ADP=35°，则∠。
13、若△ABC≌△A′B′C′,且AB=10cm，BC=6cm,则A′C′的取值范围为14、在△ABC和△DEF中，∠C=∠D，∠B=∠E，要使两三角形全等，需增加条件( ) A.AB=ED B.AB=FD C,AC=FD D. ∠A=∠F 15、下列条件能判断△ABC≌△DEF的是( )