关于食堂排队模型的建模
数学建模报告
关于食堂排队的数学模型
建立及其求解
关于食堂排队模型的建模
目录
一、前言********************************************3 二、内容摘要****************************************3 三、关键词******************************************4 四、模型的建立与分析********************************4 （1）调查数据*************************************4 （2）模型假设*************************************7 （3）模型建立*************************************7 （4）模型求解*************************************8 （5）模型分析************************************10 五、优化设计方案**************************************12 六、总结**********************************************12 七、参考目录******************************************13 八、MATLAB源程序*************************************13
关于食堂排队模型的建模
关于食堂排队的数学模型建立及其求解
前言
相信每一位有过求学经历的人，对于饭点时如潮水的人流疯狂挤向
食堂排队打饭的情形并不陌生。然而好不容易挤入食堂，面对着长冗的队伍以及其缓缓向前挪动的速度，选择继续排队或者离开食堂，这每个人，我想，都曾在自己饥肠辘辘时踌躇过。此时，作为一名食堂的经营者一定考虑过通过何种改变来留住就餐人员，保证营业额，而最直接的方式就是增加窗口，分担其他窗口的服务量，缓解压力，减少队伍的长度，但是一旦窗口数量过多就会造成资源浪费。如何优化就是此次数学建模的主要内容，本文以作者所在的北京航空航天大学的五食堂为例，建立数学模型，通过作者的调查和计算，进而优化食堂排队方案，解决食堂拥挤和成本的问题。
内容摘要
1、 在做此次建模中作者查阅的不少参考书籍，队伍食堂排队
模型多用排队论中方法，而且学生到达食堂的规律遵循泊松分布。作者以为学校食堂就餐学生到达食堂的规律更遵循是的正态分布。
2、 在此次建模中，作者采用的数据多为亲身实地调查，符合
作者的生活实际。
3、 在确定最合适窗口数为9个后，作者又对其采用灵敏度分
析，分析其经济学价值。
关于食堂排队模型的建模
关键词
数学建模、排队、正态分布、概率论、灵敏度
模型的建立与分析
北航在节假日除特许情况外，学生上课数量较少，一定程度上学生在食堂就餐较为分散，不会造成排队就餐等拥挤现象，作者仅对北航工作日，即周一至周五时的食堂情况进行调查分析，而且由于五食堂较大，能够容纳较多的座椅，作者发现基本没有打完饭的同学找不到桌子用餐的情况。所以作者以北航五食堂作为调查的样本，建立数学模型，进行问题分析。
调查数据
1.作者实地统计了6月1日北航五食堂中午就餐服务时间，即10点30分至13点30分的就餐人数分布情况。共统计了1957人，见下表：
北航五食堂中午就餐人数分布
其中具体到每十分钟的人数如下：
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作图如下：
其中人数在12:00到达顶峰。人数基本服从正态分布，其密度函数为
a, (t)
1
(t a)2
2
2
e
，图像如下
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设10:30时t=0，以分为一个单位，则
a 90， 28.3
（具体计算过程如下：
P( 30/ t 30/ ) 1369/1957 0.6995，
P(t 30/ ) 1
通过查表可得：
2831957
0.8553
(1.06) 0.8554
所以通过概率论只是可得：
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30
则
1.06
，
28.3）
2.此外，作者通过网络的投票调查发现同学们在就餐排队时，当队伍人数超过平均最低满意人数C=12时，会选择离开队伍，重新寻找队伍排队甚至离开食堂，见下表：
食堂排队打饭，当所在排队人数超过多少人时，你会选择放弃排队，离开食堂
3.作者还发现食堂的服务员工一般平均服务以为同学打饭共需 t 20s 0.33。
4.食堂从11:45起出现排队现象 模型假设
1. 学生单独道来食堂就餐是相互独立的，没有必然的联系； 2. 学生对于食堂饭菜的口味没有特殊的偏好；
3. 食堂各个窗口的服务质量和数量相同，饭菜的供给量充足。 4. 学生排队时自动选择人少的窗口。 模型建立
关于食堂排队模型的建模
基于以上的假设，我们建立的模型中学生来到食堂基本符合
a 90， 28.3的标准正态分布，来到食堂后学生自动寻找人
数较少的窗口人进行排队，等待服务直至轮到自己。 其中模型中指标有： 学生就餐总人数：A=1957 学生来到食堂的密度函数：
(t 90)
2
a, (t)
170.94
e
1601.78
，
平均到达时间：a 90， 到达时间的方差：
28.3 ，
食堂服务人员服务单个同学平均需要时间： t 20s 0.33 学生平均最低满意队伍人数：C 12 起始窗口数量：N0 6 窗口数量：N
队伍中排队人员的数量：Q 模型求解
首先我们要确定食堂出现排队的时刻：当在某一时刻，如果食堂在一个服务时期 t内，服务总人数即等于窗口数，小于在此时间段内进入食堂的人时，出现排队。
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在 t时间内，当来到食堂人数多于6人时，开始出现排队现象，即：
90 t28.3
90 t 0.33
28.3
61957
0.0031
() ()
通过查询正态分布表可得：t 69.1，也就是在时间为11：40时出现排队现象,计算得出的数据基本与作者调查数据一致。 在11:40到12:00，也就是70<t<90是时间内，就餐学生总人数
A' A*[ (
90 9028.3
) (
90 7028.3
)] 1957*[ (0) ( 0.71)] 1957*0.2611 511
则Q
5116
200.33
25 12，也就是说在70<t<90时间内窗口数无法满足
需求，在一定时间后，队伍长度的积累量将超过学生最低满意满意队伍人数：C 12