。
所以，为了减轻每个窗口的服务压力，留住就餐人员，就要适当的增加窗口。
在12点高峰期，即t=90时的一个服务期 t，进入食堂的学生人数为
A' A*[ (
(90 0.17) 90
28.3
) (
90 (90 0.17)
28.3
)] 1957*0.008 16
也就是说，当窗口数N=16时，永远不会出现排队现象。 设数列{an}及{ tn}，其中a1 6，an 5 n。 从n 2开始，计算
关于食堂排队模型的建模
(
90 (tn t/2)
28.3
) (
90 (tn t/2)tn
28.3
)
an1957
得tn，即食堂窗口数an时开始出现排队的时间； 若
2*A*[ (
90 tnan
) (0)]
2*(90 tn)
t
C 12，停止循环，得出an
，tn；
否则继续，直至N=16；
通过以上算法，可得当窗口数量n=9，从出现排队现象到排队现象消失，队伍长度不会超过学生平均最低满意满意队伍人数：C 12。 模型分析
对于本数学模型，在一定的时间段内还是符合实际情况的。学生对于饮食居于一定的偏好性，所以对于食堂的选择还是比较固定的。中午11:45是学校集中下课的时间，而且下课后一般同学们因饥饿会直接走向食堂，考虑到从教学楼到食堂的步行时间，同学们会在12:00集中到达食堂。同学们对于队伍的选择最直观的评判标准就是视觉——队伍的长度，所以选择学生平均最低满意满意队伍人数：C 12
作为求解过程中终止条件是有事实根据的。此外对于
t，之所以选择
20s，是因为一旦时间过短，必然会忙中出错，导致服务质量下降，对于学生的影响力下降，销售额必然也会下降。对于窗口数N和拥挤时间T具有的关系，我们进行分析： 首先我们利用
matlab
得到N-T散点图，见下图
关于食堂排队模型的建模
我们再用matlab对N-T散点图进行三次函数拟合，得
关于食堂排队模型的建模
拟合得到的三次多项式为：
T 0.1164N 0.1805N 31.3641N 212.9779
从上图中，可以看出当窗口数增加之后，排队时间急剧下降。但是当N>9时，下降趋势变缓。 引用灵敏度函数S(n,T)
T/ nT/n
32
，
经过计算可得，灵敏度函数S(n,T)随着n上升而下降，在n从9变为10时，队伍排队时间只减少了0.283s，此时增加窗口不符合经济效益，因此无意义
优化设计方案
关于食堂排队模型的建模
通过上述可知，当N=9时，食堂窗口数刚好从出现排队现象到排队现象消失，队伍长度不会超过学生平均最低满意满意队伍人数
C 12，而且取此食堂的窗口数时，灵敏度函数S(n,T)
T/ nT/n
大，
当N》10时，尽管排队时间会变少，但灵敏度变的极低，减少的排队时间不过0.283s，对学生影响不会很大。加上增加窗口还需添加设施及服务人员等所耗用的成本，综合考虑所以北航五食堂最佳的窗口数为9个，此时既能满足学生的用餐需求，不会应为过于拥挤而造成就餐人员流失，而且适当的减少了食堂的运行成本，从而实现资源利用的最大化。并且就所采集的数据来看，食堂的高峰介于11：30到12：30，增加窗口时间应取在该时间段。
总结
此次数学建模中，从拿到题目到调查取样，再到建立模型，计算完成，到最后的校验时间不到一周，尽管时间紧张，但是作为一学期的数学建模的总结还是不得不令人对此引起足够的重视的。在此次建模中，前期的调查时间，作者觉得还是不够充分，例如选取北航五食堂作为样本采集地时，采集样本只有一次，数据上略显带单薄。此外在处理数据时，由于作者的matlab水平有限，增加了不少工作量，例如在求解过程中的那个算法完全是依赖作者的手动计算，然且在计算过程中查询的《正态分布表》数据精确到4位小数，离作者心目中的要求还是有一定的差距。最后感谢此次建模中所有对本文由帮助的人，尤其是陈建仲、谢锋和牛宝龙同学，陈建仲同学对于作者matlab
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的使用起了很重要的帮助和指导作用，谢锋同学在建模前期和作者的交流中提出的意见和想法在本文中作者有不少的采纳，牛宝龙同学在编程实现时给了不少简化方案，再次由衷地谢谢他们。
参考目录
【1】梁之舜、邓集贤、杨维权、司徒荣、邓永录《概率论与数理统
计 》高等教育出版社
【2】陆来凤《排队论及其应用》湖南科学技术出版社 【3】龚光鲁、钱敏平《应用随机过程教程》清华大学出版社
MATLAB源程序
密度函数画图函数程序：
hold on
for t=-0:0.01:180;
y=exp(-(t-90).^2/1601.78)/70.94; plot(t,y) end
N-T散点图画图
hold on plot(6,20.9*2,'o') plot(7,15.0*2,'o') plot(8,2.26*2,'o') plot(9,0.566*2,'o') plot(10,0.566*2/4,'o') plot(11,0,'o')
关于食堂排队模型的建模
N-T散点图拟合成三次多项式：
x=[6 7 8 9 10 11];
y=[20.9*2 15*2 2.26*2 0.566*2 0.566/2 0]; polyfit(x,y,3)
拟合的三次多项式画图：
for x=6:0.01:11;
uu=0.1164*x*x*x-0.1805*x*x-31.3641*x+212.9779; plot(x,uu,'r'); end
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