国家精品课程 概率论与数理统计
第一章第三节
古典概率模型应用数理学院
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I. 什么是古典概率模型 如果试验E 如果试验E满足 试验结果只有有限种， (1) 试验结果只有有限种， 每种结果发生的可能性相同。 (2) 每种结果发生的可能性相同。 则称这样的试验模型为等可能概率模型 等可能概率模型或 则称这样的试验模型为等可能概率模型或 古典概率模型，简称为等可能概型 等可能概型或 古典概率模型，简称为等可能概型或古典 概型。 概型
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II. 古典概率模型中事件概率求法因试验E的结果只有有限种, 因试验E的结果只有有限种,即样本点是有 限个: ,…,ω 限个: ω1,ω2 ,…,ωn ,其中 Ω={ω }∪{ω }∪…∪{ω Ω={ω1}∪{ω2 }∪…∪{ωn}, 是基本事件，且它们发生的概率都相等。 {ωi}是基本事件，且它们发生的概率都相等。 于是， 于是，有 1=P(Ω)=P({ω }∪{ω }∪…∪{ω 1=P(Ω)=P({ω1}∪{ω2 }∪…∪{ωn}) =P({ω })+P({ω })+…+P({ω =P({ω1})+P({ω2 })+…+P({ωn}) =nP({ω i=1,2,…n。 =nP({ωi}), i=1,2,…n。
从而，P({ω 1/n,i=1,2,…n 从而，P({ωi})= 1/n,i=1,2, n。
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因此，若事件A包含k个基本事件， 因此，若事件A包含k个基本事件，有 P(A)=k×(1/n)=k/n。 P(A)=k×(1/n)=k/n。 III. 古典概模型的例 例1: 掷一颗均匀骰子， 掷一颗均匀骰子，设:A表示所掷结果为“四点或五点”; :A表示所掷结果为“四点或五点” 表示所掷结果为 表示所掷结果为“偶数点” B表示所掷结果为“偶数点”。 :P(A)和P(B)。 求:P(A)和P(B)。
解： 由n=6,kA=2,得P(A)=2/6=1/3; n=6, =2,得P(A)=2/6=1/3; 再由k =3, P(B)=3/6=1/2。 再由kB=3,得P(B)=3/6=1/2。
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货架上有外观相同的商品15 15件 其中12 货架上有外观相同的商品15件，其中12 例2: : 件来自产地甲, 3件来自地乙 现从15 件来自地乙。 15件商品 件来自产地甲, 3件来自地乙。现从15件商品 中随机地抽取两件, 中随机地抽取两件,求这两件商品来自一同产 地的概率。 地的概率。
解: 从15件商品中取出2商品,共有C215 =105种 15件商品中取出 商品,共有C =105种 件商品中取出2取法,且每种取法都是等可能的，故n=105。 取法,且每种取法都是等可能的， n=105。 A={两件商品都来自产地甲 两件商品都来自产地甲},k 66, 令 A={两件商品都来自产地甲},kA= C212=66, B={两件商品都来自产地乙 两件商品都来自产地乙},k B={两件商品都来自产地乙},kB= C23 =3, 而事件: 两件商品来自同一产地}=A∪B, }=A∪B,且 而事件:{两件商品来自同一产地}=A∪B,且A与 互斥, ∪ 包含基本事件数66+ 69。 包含基本事件数66 B互斥,A∪B包含基本事件数66+3=69。 故，所求概率=69/105=23/35。 所求概率=69/105=23/35。
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有外观相同的三极管6 例3:有外观相同的三极管6只,按其电流放大 系数
分类,4只属甲类,2只属乙类。 系数分类,4只属甲类,2只属乙类。按下列两种 ,4只属甲类,2只属乙类 方案抽取三极管两只, 方案抽取三极管两只, (1).每次抽取一个只,测试后放回, (1).每次抽取一个只,测试后放回,然后再抽取 每次抽取一个只 下一只(放回抽样); 下一只(放回抽样); (2).每次抽取一只 测试后不放回, 每次抽取一只, (2).每次抽取一只,测试后不放回,然后在剩下 的三极管中再抽取下一只(不放回抽样) 的三极管中再抽取下一只(不放回抽样)。 设A={抽到两只甲类三极管},B={抽到两只同类 A={抽到两只甲类三极管},B={抽到两只同类 抽到两只甲类三极管},B={ 三极管},C={至少抽到一只甲类三极管},D={ },C={至少抽到一只甲类三极管},D={抽 三极管},C={至少抽到一只甲类三极管},D={抽 到两只不同类三极管} 到两只不同类三极管}。 求：P(A),P(B),P(C),P(D)。 P(A),P(B),P(C),P(D)。
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解: (1).由于每次抽测后放回,因此,每次都是 (1).由于每次抽测后放回 因此, 由于每次抽测后放回,在6只三极管中抽取。因第一次从6只中取一 只三极管中抽取。因第一次从6 共有6种可能取法；第二次还是从6 只,共有6种可能取法；第二次还是从6只中取 一只,还是有6种可能取法。 一只,还是有6种可能取法。故,取两只三极管 共有6×6=36 种可能的取法。从而,n=36。 共有6 种可能的取法。从而,n=36。 ,n=36
注意: 注意:这种分析方法使用的是中学学过的
乘法原理
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因每个基本事件发生的可能性相同, 因每个基本事件发生的可能性相同,第一 次取一只甲类三极管共有4种可能取法, 次取一只甲类三极管共有4种可能取法,第二 次再取一只甲类三极管还是有4种可能取法。 次再取一只甲类三极管还是有4种可能取法。 所以, 所以,取两只甲类三极管共有 4×4=16 种可能 的取法, =16。 的取法, 即kA=16。故 P(A)=16/36=4/9; P(A)=16/36=4/9; E={抽到两只乙类三极管 抽到两只乙类三极管},k =2×2=4。 令E={抽到两只乙类三极管},kE=2×2=4。故 P(E)=4/36=1/9; 的对立事件， P(C)=1-P(E)=8/9; 因C是E的对立事件，故 P(C)=1-P(E)=8/9; ,且 互斥, 因B= A∪E ,且A与E互斥,得 P(B)=P(A)+P(E)=5/9; P(B)=P(A)+P(E)=5/9; 的对立事件, P(D)=1-P(B)=4/9。 D是B的对立事件, 得 P(D)=1-P(B)=4/9。
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由于第一次抽测后不放回,因此, (2).由于第一次抽测后不放回,因此,第一次 从6只中取一只,共有6种可能的取法；第二次 只中取一只,共有6种可能的取法； 是从剩余的5只中取一只, 种可能的取法。 是从剩余的5只中取一只,有5种可能的取法。 由乘法原理，知取两只三极管共有n=6 n=6× 由乘法原理，知取两只三极管共有n=6×5=30 种可能的取法。 种可能的取法。 由乘法原理, =4× 由乘法原理,得 kA=4×3=12, P(A)=12/30=2/5;
=2×1=2, kE=2×1=2,P(E)=2/30=1/15; 的对立事件, P(C)=1-P(E)=14/15; 由C是E的对立事件,得P(C)=1-P(E)=14/15; B=A∪E,且 互斥, 由B=A∪E,且A与E互斥,得 P(B)=P(A)+P(E)=7/15; P(B)=P(A)+P(E)=7/15; 的对立事件, P(D)=1-P(B)=8/15。 由D是B的对立事件, 得 P(D)=1-P(B)=8/15。