国家精品课程 概率论与数理统计
例4:n个球随机地放入N(N≥n)个盒子中,若盒 个球随机地放入N(N≥n)个盒子中, N(N≥n)个盒子中 子的容量无限制。 每个盒子中至多有一球” 子的容量无限制。求“每个盒子中至多有一球” 的概率。 的概率。
解: 因每个球都可以放入N个盒子中的任何一个, 因每个球都可以放入N个盒子中的任何一个,故每个球有N种放法。由乘法原理, 故每个球有N种放法。由乘法原理,将n个球放 个盒子中共有N 种不同的放法。 入N个盒子中共有Nn种不同的放法。 每个盒子中至多有一个球的放法( 每个盒子中至多有一个球的放法(由乘法 原理得): N(N-1)…(N (N原理得): N(N-1) (N-n+1)=ANn 种。 故，
P(A)= ANn/Nn。
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许多问题和上例有相同的数学模型。 许多问题和上例有相同的数学模型。 例如(生日问题 某人群有n个人 例如 生日问题): 个人，他们中至少有两 生日问题 某人群有 个人， 人生日相同的概率有多大？ 人生日相同的概率有多大？ 设每个人在一年( 365天计) 设每个人在一年(按365天计)内每天出 天计 生的可能性都相同,现随机地选取n(n≤365) 生的可能性都相同,现随机地选取n(n≤365) 个人, 个人,则他们生日各不相同的概率为 A365n/365n。 于是, 于是, n个人中至少有两人生日相同的概率 为 1- A365n/365n。 (请打开 请打开P14 表1.3.1) 请打开
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公式 把n个物品分成k组,使第一组有n1个, 个物品分成k 使第一组有n 第二组有n 组有n 第二组有n2个, …,第k组有nk个,且 , n= n1+ n2+…+nk 。 +n 则:不同的分组方法有n ! n !n ! n ! 1 2 k
种。
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例5: 某公司生产的15件品中,有12件是正品,3 某公司生产的15件品中, 12件是正品,3 15件品中 件是正品 件是次品。现将它们随机地分装在3个箱中, 件是次品。现将它们随机地分装在3个箱中,每 箱装5 :A={每箱中恰有一件次品 每箱中恰有一件次品}, 箱装5件，设:A={每箱中恰有一件次品}, B={三件次品都在同一箱中 三件次品都在同一箱中} B={三件次品都在同一箱中}。 P(A)和P(B)。 求: P(A)和P(B)。 15件产品装入 个箱中,每箱装5 件产品装入3 解: 15件产品装入3个箱中,每箱装5件,共有
15!/(5!5!5!)故 种等可能的装法。 种等可能的装法。 , 基本事件总数有 个。
15!/(5!5!5!)
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把三件次品分别装入三个箱中,共有3! 3!种 续: 把三件次品分别装入三个箱中,共有3!种 装法。这样的每一种装法取定以后, 把其余12 装法。这样的每一种装法取定以后, 把其余12 件正品再平均装
入3个箱中,每箱装4 件正品再平均装入3个箱中,每箱装4件,有
1 !/(4 4 4 ) 种 法 2 !!! 装 ,再由乘法原理, 再由乘法原理,可知装箱总方法数有
3!12!/(4 !4!4 ) 种 ! 。个基本事件。 即A包含 3!12!/(4!4!4! ) 个基本事件。 从而， 从而，12 ! 15 ! 25 P(A = 3 ) ! ÷ = 。 4 4 4 5 5 5 91 !!! !!!
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把三件次品装入同一箱中,共有3种装法. 续: 把三件次品装入同一箱中,共有3种装法.这 样的每一种装法取定以后,再把其余12件正品装 样的每一种装法取定以后,再把其余12件正品装 12 个箱中(一箱再装2 另两箱各装5 入3个箱中(一箱再装2件,另两箱各装5件)又有
12 /(2 5 5 ) 种 法 ! !!! 装 。由乘法原理， 由乘法原理，知装箱方法共有
3×1 !/(2 5 5 ) 种 × 2 !!! 。即B包含 3×12 /(2 5 5 ) 个基本事件。故， × ! ! ! ! 个基本事件。1! 2 1! 5 6 P B = 3× ( ) ÷ = 。 255 555 !!! !!! 9 1
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件产品中有K件是次品,N ,N例6:设N件产品中有K件是次品,N-K件是正 品,K<N。现从N件中每次任意抽取1件产品,在 ,K<N。现从N件中每次任意抽取1件产品, 检查过它是正品或是次品后再放回, 检查过它是正品或是次品后再放回,这样共抽 取了n 取了n次。 事件A={所取的n件产品中恰有k A={所取的 求:事件A={所取的n件产品中恰有k件次 的概率,k=0,1,2, ,n。 ,k=0,1,2,…,n 品}的概率,k=0,1,2, ,n。 假定N件产品是有编号的, 解: 假定N件产品是有编号的,从中任意取出一 件,每次都有N种取法.由乘法原理,n次共有Nn 每次都有N种取法.由乘法原理,n次共有N ,n次共有 种取法, 基本事件总数为N 种取法,故,基本事件总数为Nn。 当所取的n件产品中恰有k件次品时, 当所取的n件产品中恰有k件次品时,由于 取到这k件次品的次序的不同, 取到这k件次品的次序的不同,因此从次序考虑 共有C 种情况。 共有Cnk种情况。
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种情况确定以后, 这Cnk种情况确定以后,从K件次品中取出 续: 共有K 种取法。 件正品中取n k件,共有Kk种取法。从N-K件正品中取n-k件, 共有(N (N种取法。由乘法原理,共有C 共有(N-K)n-k种取法。由乘法原理,共有Cnk Kk (N种取法, ∴A中基本事件个数为 中基本事件个数为C (N-K)n-k种取法, ∴A中基本事件个数为Cnk Kk (N(N-K)n-k。Ck Kk (N K)n k P A = n ( ) Nnk K N K =C n N N k n k
,
k = 01 2 n , , , , 。
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小结本节首先给出古典概型的定义； 本节首先给出古典概型的定义；然后讨论 了古典概型中事件概率求法： 了古典概型中事件概率求法： 若事件A包含 个基本事件，有 若事件 包含k个基本事件 包含 个基本事件， P(A)=k×(1/n)=k/n; × ; 最后， 最后，给出了几个古典概型中求随机事件 概率的应用实例。 概率的应用实例。