一、解答题（共76分）
1、计算下列各题：（每题6分，共30分）
（1）222012lim()12x n n n n n n n n
→+++++++++; 解：因为
2222212121212
1
n n n n n n n n n n n n n n n ++++++≤+++≤++++++++++， 即 22222(1)12(1)2()12
2(1)n n n n n n n n n n n n n n n n n ++≤+++≤++++++++++. 而 22(1)(1)1lim lim 2()2(1)2
n n n n n n n n n n n →∞→∞++==++++， 故 2220121lim()122
x n n n n n n n n →+++=++++++. （2）设()1arcsin cos f x x x x =+，求常数A 与k 使得当0x →时()f x 与k Ax 是等价无穷小.
解 00()1arcsin cos lim lim (1arcsin cos )
k k k x x x f x x x x Ax Ax Ax x x x →→→+==++ 011cos arcsin lim 2k
x x x x Ax →-+=
因为当0x →时，211cos ~2x x -，2arcsin ~x x x ，故231cos arcsin ~2
x x x x -+，故 2k =，322
A =， 于是，2k =，34
A =. （3）求函数21(2cos )1,(01)1x x y x x x x
-=++-<<+的导数。 解 ln(2cos )21e 11x x x y x x +-=+-+，于是， 2232sin 21(2cos )[ln(2cos )]12cos (1)1)x x x x y x x x x x x -'=+?+---+++(. 厦门大学《一元微积分（A ）》课程期中试卷
＿＿＿＿学院＿＿＿＿系＿＿＿＿年级＿＿＿＿专业
经管类高数A 期中试卷 试卷类型：（A 卷）
（4）求函数()y y x =由参数方程sin 1cos x t t y t =-??=-?所确定，求π2d d t y x =及222
d d t y x π=。 解： d sin d 1cos y t x t =-，故π2
d 1d t y x ==； 22222d cos (1cos )sin 11d (1cos )1cos (1cos )y t t t x t t t --=?=----，故22π
2
d 1d t y x ==-. （5）设2()(1)cos f x x x x =++，求(10)(0)f
. 解：(10)210π9π1098π()(1)cos()10(21)cos()2cos()2222f
x x x x x x x ?=++++?+++?+， 则 (10)
(0)19089f =-+=. 2、(8分)求函数22ln ||32
x x y x x -?=-+的间断点，并判断其类型（说明理由）。 解：因为202ln ||lim 32x x x x x →-?=∞-+，故0x =为函数22ln ||32
x x y x x -?=-+的第二类间断点（无穷间断点）； 由于222ln ||lim ln 232x x x x x +→-?=-+，222ln ||lim ln 232x x x x x -→-?=--+，所以，2x =为函数22ln ||32x x y x x -?=-+的第一类间断点（跳跃间断点）； 而2112ln ||(2)ln(11)lim lim 132(2)(1)x x x x x x x x x x →→-?-?+-==--+--，故2x =为函数22ln ||32
x x y x x -?=-+的第一类间断点（可去间断点）.
3、(6分)设()y y x =是由方程22e 2xy x y y +-=所确定的隐函数，求曲线()y y x =在点(0,2)处的切线方程和法线方程。
解 对方程22e
2xy x y y +-=两边关于x 求导数，则有 22e e ()0xy xy x yy y y y xy '''+--+=，
令0x =，2y =，则有4(0)3y '=，于是所求切线斜率43
k =. 于是，所求切线方程为423
y x -=，即4360x y -+=， 法线方程为324y x -=-，即3480x y +-=.
4、（8分）设1e ,0(),0sin ,0e 1
x x a x f x b x x
x -
??+>?
==???<-?, 试问
（1）,a b 为何值时，()f x 在(,)-∞+∞内连续？（2）()f x 在0x =处是否可导? 解 只须考虑()f x 在0x =处的连续性和可导性. （1）为使()f x 在0x =处连续，则有 0
lim ()lim ()(0)x x f x f x f +-
→→==， 即 1a b ==. （2）10
1e 1
(0)lim 0x
x f x
+
-
+→+-'==， 2000sin 1sin e 1sin e 1e 1(0)lim lim lim (e 1)x x x x x x x x
x x f x x x ---
-→→→--+-+-'===- 00cos e sin e 1
lim lim 222
x x x x x x x --
→→---===-. 故()f x 在0x =处不可导.
5、（8分）讨论函数2()e x
f x x -=的单调性，并求出该函数在实数范围内的极值和最值.
解 2()(2)e
(2)e x
x f x x x x x --'=-=-，令()0f x '=，得0x =或2x =.
函数2
2()e x f x x -=在(,0)-∞及(2,)+∞上单调减少，在(0,2)上单调增加. 于是，函数2
2()e x f x x -=在0x =处取得极小值，极小值为(0)0f =，在2x =处取得极大值，极大值为2
(2)4e f -=.
由于lim ()x f x →-∞
=+∞，而lim ()0x f x →+∞
=，因此，函数()f x 没有最大值，在0x =处取得最小值0.
6、（8分）设函数()f x 在0x =处连续，且0()
lim
2
e 1x x
f x →=-，求：（1）(0)f '；（2）20(tan sin )lim ln(1)
x f x x x x →-+.
解：因为函数()f x 在0x =处连续，故
00()(0)lim ()lim (e 1)0e 1
x x x x f x f f x →→==?-=-. （1）00()()e 1(0)lim lim 2e 1x x x x f x f x f x x
→→-'==?=-； （2）2200(tan sin )(tan sin )tan sin lim lim ln(1)tan sin ln(1)
x x f x x f x x x x x x x x x x →→---=?+-+ 3300tan sin tan (1cos )(0)lim
2lim 1x x x x x x f x x →→-?-'===. 7、（8
分）设0x
，n x =（2,3,n =），证明数列{}n x 收敛，并求极限lim n n x →∞； 解1
：1n x ==先用归纳法证明：1(2,3,
)n n x x n ->=
21n x <<
事实上，0x
，111x =<
且10x x =>=. 假设结论对n k =
11k k x x ->>>，那么1n k =+时，
111k x +=<
，1k x +=>
且10k k x x +-=>，即1k k x x +>. 故数列{}n x 单调增加，且有上界，于是极限lim n n x →∞存在，设lim n n x a →∞=.
由n x =
两边取极限，得a =
a =
n x >
1lim 2
n n x →∞+=. 解2：
显然对任意的正整数1,n n x ≥≥
，且11n x ==≤， 即{}n x 有界。
此数列的递归函数()f x =
()0,1f x x '=>≤≤，故{}n x
单调，所以{}n x 单调有界，故lim n n x →∞存在，不妨记此极限为a
，由n x =
两边取极限，得a =