12a ±=
，因为n x >
1lim 2n n x →∞= 二、应用题（第一小题8分，第二小题10分，共18分）
1、设商品需求量Q 是价格p 的单调减函数()Q Q p =，其需求价格弹性的绝对值
222||192p dQ p Q dp p η==-，（1）设R 为总收益函数，证明：(1)dR Q dp
η=-；（2）求6p =时总收益对价格的弹性，并说明其经济意义。
解 （1）因为商品需求量Q 是价格p 的单调减函数，于是d 0d Q p <，即d d p Q Q p η=-，因此，d d Q Q p p η=-. 由R pQ =可得
d d (1)d d R Q Q p Q Q Q p p
ηη=+=-=-. （2）总收益对价格的弹性为22d 12(1)11d 192p R p Q R p Q p
ηη=-=-=--，于是当6p =时，总收益对价格的弹性为236710.53851923613
?-=≈-. 其经济意义是：当6p =时，价格上涨1%时，总收益增加0.5385%.
2、在椭圆22
221x y a b
+=的第一象限部分上求一点P ，使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围图形的面积最小。
解：过椭圆上任意点00(,)x y 的切线斜率0()y x '满足0002222()0x y y x a b '+=，则20020
()b x y x a y '=-， 0(0)y ≠，切线方程为200020
()b x y y x x a y -=--. 分别令0y =与0x =，求得,x y 轴上的截距为：2200,b a y x y x ==，于是该切线与椭圆及两坐标轴所围图形的面积为：2200011()24
a b S x ab x y π=-
其中0y ==
，代入得3001(),(0,)4S x ab x a π=∈.
问题是求：3
1()(0)4
S x ab x a π=-<<的最小值， 此问题又与求函数222()()f x x a x =-在闭区间[0,]a 上最大值等价。
由223()2()20f x x a x x '=--=，得2220a x -=，即 0,02
x x a x ===（舍去），
注意到0(0)()0,()0f f a f x ==>，故0x a =
是()f x 在[0,]a 上最大值点，因此)即为所求的点P . 三、证明题（6分）
设()f x 是二阶可导的函数, (0)0,f =令2()(sin 1)()F x x f x =-，证明：在(0,)2π内至少存在一点ξ，使得()0F ξ''=。 证：显然(0)()2F F π=，由罗尔定理知，存在0(0,)2x π∈，使得0()0F x '=。又因为 2()2(sin 1)()(sin 1)()F x x f x x f x ''=-+-，()02F π'=，由于()F x 二阶可导，对()F x '在0[,]2x π上应用罗尔定理，则存在0(,)2x πξ∈，使得()0F ξ''=。