如图 1 所示，点 ?? 是 ???? 中点，连接 ???? 并延长到 ?? 使 ????=????，连接 ????，作平行四边形 ????????，小林针对平行四边形 ???????? 形状进行了如下探究：
（1）小林先假设小等腰直角三角形的直角边非常小，这时三角形可以看作一个点，如图 2 所示，
并提出猜想四边形 ???????? 是______ ；
（2）小林对比图 1 和图 2 的情形，完成了（1）中的猜想，请借助图 1 帮他证明这个猜想； （3）如图 3 所示，现将等腰直角三角形 ?????? 绕点 ?? 逆时针旋转一定角度，其它条件都不改变，
原来结论是否仍然成立?请说明理由．
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23. 如图所示，将一边长为 3 的正方形放置到平面直角坐标系中，其顶点 ?? 、 ?? 均落在坐标轴上，
一抛物线过点 ?? 、 ??，且顶点为 ?? 1,4 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 ?? 为抛物线上一点，恰使 △??????≌△??????，求点 ?? 的坐标；
（3）?? 轴上是否存在一点 ??，恰好使得 △?????? 为直角三角形?若存在，直接写出满足条件的所
有点 ?? 的坐标；若不存在，请说明理由．
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答案
第一部分 1. D 2. C 3. B 4. A 5. D
6. C 7. C 8. D
第二部分
9. 2 2 10. 9.1217×1010 11. 50° 12. 2
5 13. 6 14. 7π4 15. 4 第三部分
原式=4??
???21
???2 2???????2
16.
=41
???32????2，
=
???2
当 ??= 3+2 时，原式=
3 3+2?2= 3．17. （1） ???? 与半圆 ???? 相切， 理由：∵???? 为直径， ∴∠??????=90°， ∴????⊥????， ∵????∥????， ∴????⊥????， ∵????∥????， ∴????⊥????，
∴???? 与半圆 ???? 相切． （2） ∵ 点 ?? 平分半圆弧， ∴∠??=45°，
∴△?????? 为等腰直角三角形， ∵????=4， ∴????=4 2， ∴????=2 2， ∵????∥????，
∴∠??????=∠??????=45°， 由（1）知 ????⊥????，
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∴△?????? 为等腰直角三角形，
∴??阴影部分=??△?????????扇形??????=× 2 2 ?
21
2
45°360
°π× 2 2 =4?π．
2
18. （1） 300 （2） 25
（3） 300×20%=60 人 ，补全图形如下：
（4） 小明被抽到听讲座的概率是
1550
=
310
．
19. （1） 设前一次购进玩具 ?? 件，第二次购进玩具 ?? 件，
??+??=80,解得： ??=30,答：前后两次分别购进玩具的件数为由题意得： 30 件和 50 件．
??=50.30???20??=900. （2） 设第一次卖出 ?? 件，则第二次卖出 80??? 件，
根据题意得：50??+40 80??? ? 20×30+30×50 ≥1500.解得：??≥40.又 ??≤80， ∴40≤??≤80．
则第一次卖出玩具件数范围为 40≤??≤80．
20. （1） 若四边形 ???????? 为菱形，则 ???? 与 ???? 互相垂直平分， 由题意得，?? ?2,2 ，?? 0,2 ．
则反比例函数的解析式是 ??=???，?? ?1,0 ，?? ?1,4 ． 设直线 ???? 的解析式是 ??=????+??，
2=??, 将 ?? 0,2 ，?? ?1,4 代入 ??=????+??，可得：
4=???+??.
??=?2,解得：
??=2.
则直线 ???? 的解析式是 ??=?2??+2． 所以 ?? 的坐标是 1,0 ． （2） ???? 始终与 ???? 平行．
设 ?? 的坐标是 ??,??? ，直线 ???? 的解析式是 ??=????+??，则 ?? ??,0 ． ?=????+??,将 ?? ?2,2 ，?? ??,??? 代入可得： ??
2=?2??+??.
4
4
4
4
??=???,
解得： 4
??=2???.
2
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