类型4：图形问题中的方案设计
图形问题方案设计通常是先给出一个图形（可能是规则的也可能是不规则的），然后让你用直线或弧线将图形分成形状或面积相等的几部分，解决此类问题可借助对称的性质、角度的大小和面积公式等方法进行分割。【版权所有：21教育】
【例题】（2015?四川广安，第24题8分）手工课上，老师要求同学们将边长为4cm的正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形，聪明的你请在下列四个正方形中画出不同的剪裁线，并直接写出每种不同分割后得到的最小等腰直角三角形面积（注：不同的分法，面积可以相等）
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考点：作图—应用与设计作图．
分析：（1）正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，连接HE、EF、FG、GH、HF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可．
（2）正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，O是AC、BD的交点，连接OE、OF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可．
（3）正方形ABCD中，F、H分别是BC、DA的中点，O是AC、BD的交点，连接HF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可．
（4）正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，O是AC的中点，I是AO的中点，连接OE、OB、OF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可． 解答：根据分析，可得
．
（1）第一种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEH、△BEF、△CFG、△DHG， 每个最小的等腰直角三角形的面积是： （4÷2）×（4÷2）÷2 =2×2÷2 =2（cm）
（2）第二种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEO、△BEO、△BFO、△CFO， 每个最小的等腰直角三角形的面积是：
2
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（4÷2）×（4÷2）÷2 =2×2÷2 =2（cm）
（3）第三种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AHO、△DHO、△BFO、△CFO， 每个最小的等腰直角三角形的面积是： （4÷2）×（4÷2）÷2 =2×2÷2 =2（cm）
（4）第四种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEI、△OEI， 每个最小的等腰直角三角形的面积是： （4÷2）×（4÷2）÷2÷2 =2×2÷2÷2 =1（cm）．
点评：（1）此题主要考查了作图﹣应用与设计作图问题，要熟练掌握，解答此题的关键是结合正方形的性质和基本作图的方法作图．21·世纪*教育网 （2）此题还考查了三角形的面积的求法，要熟练掌握．
【变式练习】
（2014?四川广安,第24题8分）在校园文化建设活动中，需要裁剪一些菱形来美化教室．现有平行四边形ABCD的邻边长分别为1，a（a＞1）的纸片，先剪去一个菱形，余下一个四边形，在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，…依此类推，请画出剪三次后余下的四边形是菱形的裁剪线的各种示意图，并求出a的值． 考点：作图—应用与设计作图．
分析：平行四边形ABCD的邻边长分别为1，a（a＞1），剪三次后余下的四边形是菱形的4种情况画出示意图． 解答：①如图，a=4，
②如图，a
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5=， 2全国中小学教育资源门户网站 | 天量课件、教案、试卷、学案 免费下载 | www.xsjjyw.com
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③如图，a=
4， 3
④如图，a=
5， 3
点评：此题主要考查了图形的剪拼以及菱形的判定，根据已知行四边形ABCD将平行四边形分割是解题关键．
类型5：测量问题中的方案设计
解决此类的问题往往用到对称性质，借助轴对称或者中心对称等知识点构建最短路径问题，再结合要求选择所要求的方案。
【例题】(2015·南宁，第11题3分)如图6，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠MAB=20°,N是弧MB的中点,P是直径AB上的一动点，若MN=1，则△PMN周长的最小值为（ ）. （A）4 （B）5 （C）6 （D）7
图6
考点：轴对称-最短路线问题；圆周角定理．.
分析：作N关于AB的对称点N′，连接MN′，NN′，ON′，ON，由两点之间线段最短可知
MN′与AB的交点P′即为△PMN周长的最小时的点，根据N是弧MB的中点可知∠A=∠NOB=
∠MON=20°，故可得出∠MON′=60°，故△MON′为等边三角形，由此可得出结论． 解答：解：作N关于AB的对称点N′，连接MN′，NN′，ON′，ON． ∵N关于AB的对称点N′，
∴MN′与AB的交点P′即为△PMN周长的最小时的点，
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∵N是弧MB的中点， ∴∠A=∠NOB=∠MON=20°， ∴∠MON′=60°， ∴△MON′为等边三角形， ∴MN′=OM=4，
∴△PMN周长的最小值为4+1=5． 故选B．
点评：本题考查的是轴对称﹣最短路径问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
【变式练习】
（2015?四川凉山州,第26题5分）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点
P的坐标为 ．
【答案】（【解析】
试题分析：点B的对称点是点D，连接ED，交OC于点P，再得出ED即为EP+BP最短，解答即可．
试题解析：连接ED，如图，
，
）．
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