证法二，利用菱形性质得DH=BH，利用平行四边形的性质得AF∥BE，再根据平行线分线段成比例定理得到
=
=1，所以DM=EM；
（2）由△CDM≌△FEM得到CM=FM，设AD=a，CM=b，则FM=b，EF=AB=a，再证明四边形ABCD为正方形得到AC=b，则NE=NF+EF=2a+（4）由于+1，再把
==
=
a，接着证明△ANF为等腰直角三角形得到NF=a+
的值；
，然后表示出
=
=
?
b，然后计算+=k，则
=
代入计算即可．
【解答】解：（1）如图1， 证法一：∵四边形ABCD为菱形， ∴AB=CD，AB∥CD，
∵四边形ABEF为平行四边形， ∴AB=EF，AB∥EF， ∴CD=EF，CD∥EF，
∴∠CDM=∠FEM， 在△CDM和△FEM中
，
∴△CDM≌△FEM， ∴DM=EM，
即点M是DE的中点；
证法二：∵四边形ABCD为菱形， ∴DH=BH，
∵四边形ABEF为平行四边形， ∴AF∥BE， ∵HM∥BE， ∴
=
=1，
∴DM=EM，
即点M是DE的中点； （2）∵△CDM≌△FEM， ∴CM=FM， 设AD=a，CM=b， ∵∠ABE=135°， ∴∠BAF=45°， ∵四边形ABCD为菱形， ∴∠NAF=45°，
∴四边形ABCD为正方形， ∴AC=
AD=
a，
∵AB∥EF，
∴∠AFN=∠BAF=45°， ∴△ANF为等腰直角三角形， ∴NF=
AF=
（
a+b+b）=a+
b，
b，
∴NE=NF+EF=a+b+a=2a+
∴=
=， ， =
=
=
=
+
==k，
；
（4）∵∴=k﹣∴=∴
?+1=?+1=．
【变式训练】： 方法归纳总结：
画图、测量、猜想、证明等有关的探究型问题， 往往利用几何图形的性质进行全等、相似的证明． （三）考点检测
1.请用割补法作图，将一个锐角三角形经过一次或两次分割后，重新拼成一个与原三角形面积相等的平行四边形（只要求用一种方法画出图形，把相等的线段作相同的标记）．
【分析】沿AB的中点E和BC的中点F剪开，然后拼接成平行四边形即可． 【解答】解：如图所示．
AE=BE，DE=EF，AD=CF．
【点评】本题考查了图形的剪拼，操作性较强，灵活性较大，根据三角形的中位线定理想到从AB、BC的中点入手剪开是解题的关键．
2. （2017山东烟台）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB．已知OA=6，取OA的中点C，过点C作CD⊥OA交
于点D，点
F是上一点．若将扇形BOD沿OD翻折，点B恰好与点F重合，用剪刀沿着线
段BD，DF，FA依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为 36π﹣108 ．
【考点】MO：扇形面积的计算；P9：剪纸问题．
【分析】先求出∠ODC=∠BOD=30°，作DE⊥OB可得DE=OD=3，先根据S弓形BD=S
扇形BOD
﹣S△BOD求得弓形的面积，再利用折叠的性质求得所有阴影部分面积．
【解答】解：如图，∵CD⊥OA， ∴∠DCO=∠AOB=90°， ∵OA=OD=OB=6，OC=OA=OD， ∴∠ODC=∠BOD=30°， 作DE⊥OB于点E，
则DE=OD=3， ∴S弓形BD=S扇形BOD﹣S△BOD=
﹣×6×3=3π﹣9，
则剪下的纸片面积之和为12×（3π﹣9）=36π﹣108， 故答案为：36π﹣108．
3. （2016·江西·6分）如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，AB是其中一个小长方形的对角线，请在大长方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度直尺，②保留必要的画图痕迹．
（1）在图1中画出一个45°角，使点A或点B是这个角的顶点，且AB为这个角的一边；
（2）在图2中画出线段AB的垂直平分线．
【考点】作图—应用与设计作图．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．
（2）根据正方形、长方形的性质对角线相等且互相平分，即可解决问题． 【解答】解：（1）如图所示，∠ABC=45°．（AB、AC是小长方形的对角线）．
（2）线段AB的垂直平分线如图所示，
点M是长方形AFBE是对角线交点，点N是正方形ABCD的对角线的交点，直线MN就是所求的线段AB的垂直平分线．
4. （2016·江西·6分）如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，AB是其中一个小长方形的对角线，请在大长方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度直尺，②保留必要的画图痕迹．
（1）在图1中画出一个45°角，使点A或点B是这个角的顶点，且AB为这个角的一边；
（2）在图2中画出线段AB的垂直平分线．
【考点】作图—应用与设计作图．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．
（2）根据正方形、长方形的性质对角线相等且互相平分，即可解决问题． 【解答】解：（1）如图所示，∠ABC=45°．（AB、AC是小长方形的对角线）．
（2）线段AB的垂直平分线如图所示，
点M是长方形AFBE是对角线交点，点N是正方形ABCD的对角线的交点，直线MN就是所求的线段AB的垂直平分线．
5. （2017江苏盐城）如图，△ABC是一块直角三角板，且∠C=90°，∠A=30°，现将圆心为点O的圆形纸片放置在三角板内部．
（1）如图①，当圆形纸片与两直角边AC、BC都相切时，试用直尺与圆规作出射线CO；（不写作法与证明，保留作图痕迹）
（2）如图②，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周，回到起点位置时停止，若BC=9，圆形纸片的半径为2，求圆心O运动的路径长．
【考点】O4：轨迹；MC：切线的性质；N3：作图—复杂作图．
【分析】（1）作∠ACB的平分线得出圆的一条弦，再作此弦的中垂线可得圆心O，作射线CO即可；
（2）添加如图所示辅助线，圆心O的运动路径长为
，先求出△ABC的
三边长度，得出其周长，证四边形OEDO1、四边形O1O2HG、四边形OO2IF均为矩形、四边形OECF为正方形，得出∠OO1O2=60°=∠ABC、∠O1OO2=90°，从而知△OO1O2∽△CBA，利用相似三角形的性质即可得出答案． 【解答】解：（1）如图①所示，射线OC即为所求；
（2）如图，圆心O的运动路径长为
，
过点O1作O1D⊥BC、O1F⊥AC、O1G⊥AB，垂足分别为点D、F、G， 过点O作OE⊥BC，垂足为点E，连接O2B， 过点O2作O2H⊥AB，O2I⊥AC，垂足分别为点H、I， 在Rt△ABC中，∠ACB=90°、∠A=30°， ∴AC=∴C△ABC=9+9