第十七讲 辅助线与构造 一、 构造全等三角形解竞赛题
一、已知角平分线，利用轴对称构造全等三角形
例1 在四边形ABCD中，对角线AC平分?BAD，AB＞AD，下列结论中正确的是（ ）.
A．AB?AD＞CB?CD B． AB?AD＝CB?CD
C．AB?AD＜CB?CD D． AB?AD与CB?CD的大小关系不确定
二、已知中线，利用中心对称构造全等三角形
例2 设G为△ABC的重心，且AG?6,BG?8,CG?10,则△ABC的面积为（ ）。
AAAEGPBDBDCBCCEE
例1图 例2图 例3图 三、已知等边三角形，旋转60°构造全等三角形
例3 已知P是等边△ABC内的一点，PA?5,PB?4,PC?3,则?BPC的度数为（ ）.
四、已知正方形，旋转90°构造全等三角形
例4 已知P是正方形ABCD内的一点，PA∶PB∶PC=1∶2∶3，则?APB的度数为（ ）.
ADDPFEBCABCEG
例4图 例5图
五、已知特殊角度，构造全等三角形。
例5 A、B、C三个村庄在一条东西走向的公路沿线，如图，AB=2千米，BC=3千米，在B村庄的正北方向有一个D村，测得?ADC?45?,今将△ADC区域规划为开发区，除其中4平方千米的水塘外，均作为建筑或绿化用地，试求这个开发区的建筑及绿化用地的面积是多少？
二、全等三角形辅助线做法总结
图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。
一、截长补短法（和，差，倍，分）
截长法：在长线段上截取与两条线段中的一条相等的一段，证明剩余的线段与另一段相 等（截取----全等----等量代换）
补短法：延长其中一短线段使之与长线段相等，再证明延长段与另一短线段相等（延长 ----全等----等量代换）
例：1 已知，如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求证：AB=AC+CD
2 已知：如图，AC∥BD，AE和BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E 求证：（1）AE⊥BE； （2）AB=AC+BD．
二、图中含有已知线段的两个图形显然不全等（或图形不完整）时，添加公共边（或一其中 一个图形为基础，添加线段）构建图形。（公共边，公共角，对顶角，延长，平行） 例：已知：如图，AC、BD相交于O点，且AB＝DC，AC＝BD，求证：∠A＝∠D。
A OD
BC 图10?1
三、延长已知边构造三角形
例：如图6：已知AC＝BD,AD⊥AC于A ,BC⊥BD于B. E求证：AD＝BC
AB O DC
图6
四、遇到角平分线，可自角平分线上的某个点向角的两边作垂线（“对折”全等） 例：已知,如图,AC平分∠BAD,CD=CB,AB>AD.求证：∠B+∠ADC=180.
五、遇到中线，延长中线，使延长段与原中线等长（“旋转”全等） 例：1 如图，AD为 △ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。（三角形一边上的中线小 于其他两边之和的一半）
2 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD。
3 如图，已知：AD是△ABC的中线，且CD=AB，AE是△ABD的中线，求证：AC=2AE.
A B
C D
A BEDC
六、遇到垂直平分线，常作垂直平分线上一点到线段两端的连线（可逆 ：遇到两组线段相等，
可试着连接垂直平分线上的点）
例如：在△ABC中,∠ACB=90,AC=BC,D为△ABC外一点,且AD=BD,DE⊥AC交AC的延长线于E. 求证：DE=AE+BC。
C
B
A E
D
七、遇到等腰三角形，可作底边上的高，或延长加倍法（“三线合一”“对折”）
例： 如图,ΔABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,CE垂直于BD，交BD的延长线于点E.求证：BD=2CE.
八、遇到中点为端点的线段时，延长加倍次线段
A例：如图2：AD为△ABC的中线,且∠1＝∠2,∠3＝∠4. 求证：BE＋CF＞EF
E
F 1234C BD
图2M九、过图形上某点，作特定的平行线（“平移”“翻转折叠”）
例：如图,ΔABC中,AB=AC,E是AB上一点,F是AC延长线上一点,连EF交BC于D,若EB=CF 求证：DE=DF