辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才
学校2017-2018学年高二上学期期末考试数学（理）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设命题p:?x?0,x?lnx?0，则?p为（ ）
A．?x?0,x?lnx?0 B．?x?0,x?lnx?0 C．?x0?0,x0?lnx0?0 D．?x0?0,x0?lnx0?0
2.设等差数列?an?的前n项和为Sn，已知2a1?a13??9，则S9?（ ） A．?27 B．27 C．?54 D．54 3.若a,b?R，则“A.充分不必要条件 C.充分必要条件
11ab?”是“33?0”的（ ） aba?b
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
x2y24.已知双曲线2?2?1?a?0,b?0?的一条渐近线方程为x?2y?0，则该双曲线的离心率是（ ）
abA．57 B．2 C． D．5 22AN所5.直三棱柱ABC?A1B1C1中，?BCA?90?M,N分别是A1B1,AC11的中点，BC?CA?CC1，则BM与
成角的余弦值为（ ） A．30221 B． C． D． 1025106.已知等比数列?an?中，a2?2，则其前三项的和S3的取值范围是（ ）
A．???,?2? B．???,0???1,??? C．?6,??? D．???,?2???6,??? ?x?y?0?7.已知变量x,y满足约束条件?x?y?4，若目标函数z?x?2y的最小值为2，则m?（ ）
?y?m?A．2 B．1 C．
2 D．?2 38.60?的二面角的棱上有A,B两点，直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB?4，AC?6，BD?8，则CD的长为（ ）
A．17 B．217 C．41 D．241 9.已知不等式xy?ax2?2y2对任意x??1,2?,y??4,5?恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A．??1,??? B．??6,??? C．??28,??? D．??45,???
x2y210.设椭圆C:?，点P为椭圆C上异于A,B的动点，若直线PA?1与函数y?x3的图象相交于A,B两点
42的斜率取值范围是??3,?1?，则直线PB的斜率取值范围是（ ）
?11??11?A．??6,?2? B．?2,6? C．??,?? D．?,?
?26??62?a12a22a3211.设数列?an?的前n项和Sn，若2?2?2?123an2?2?4n?4，且an?0，则S100等于（ ） nA．5048 B．5050 C．10098 D．10100
y2x212.已知双曲线?:2?2?1?a?0,b?0?的上焦点为F?0,c??c?0?，M是双曲线下支上的一点，线段MF与
ab2ca222圆x?y?y??0相切于点D，且MF?3DF，则双曲线?的渐近线方程为（ ）
39A．2x?y?0 B．x?2y?0 C．4x?y?0 D．x?4y?0
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知命题p:x2?2x?3?0，命题q:x?a，若?p是?q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ．
14.已知正项等比数列?an?的公比为2，若aman?4a22，则
21的最小值等于 ． ?m2n2215.已知M是抛物线x2?4y上一点，F为其焦点，点A在圆C:?x?1???y?6??1上，则MA?MF的最小值是 ．
16.如图，在直三棱柱A1B1C1?ABC中，?BAC??2,AB?AC?A1A?1，已知G与E分别是棱A1B1和CC1的
中点，D与F分别是线段AC与AB上的动点（不包括端点）.若GD?EF，则线段DF的长度的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知数列?an?是等比数列，首项a1?1，公比q?0，其前n项和为Sn，且S1?a1,S3?a3,S2?a2成等差数列.
（1）求数列?an?的通项公式； （2）若数列?bn?满足bn?n，求数列?bn?的前n项和Tn. an18.在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?BC?1,AA1?2，E为BB1中点.
（1）证明：AC?D1E；
（2）求DE与平面AD1E所成角的正弦值. 19.已知数列{?an?满足a1?1,an?1??1?an，bn?1??n?????1?n?N*,b1???. an?2?an????1?（1）求证：数列??1?是等比数列；
?an?（2）若数列?bn?是单调递增数列，求实数?的取值范围.
20.如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，且平面PAD?平面ABCD,E为
PD中点，AD?2.
（1）求证：平面AEC?平面PCD；
（2）若二面角A?PC?E的平面角大小?满足cos??2，求四棱锥P?ABCD的体积. 421.已知过抛物线E:y2?2px?p?0?的焦点F，斜率为2的直线交抛物线于A?x1,y1?,B?x2,y2??x1?x2? 两点，且AB?6.
（1）求该抛物线E的方程；
（2）过点F任意作互相垂直的两条直线l1,l2，分别交曲线E于点C,D和M,N.设线段CD,MN的中点分别为P,Q，求证：直线PQ恒过一个定点.
22.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:?x?1??y2?16，点A?1,0?，点B?a,0??a?3?，以B为圆
2心，BA为半径作圆，交圆C于点P，且?PBA的平分线交线段CP于点Q.
（1）当a变化时，点Q始终在某圆锥曲线?上运动，求曲线?的方程；
（2）已知直线l过点C，且与曲线?交于M,N两点，记?OCM面积为S1，?OCN面积为S2，求范围.
S1的取值S2 试卷答案
一、选择题
1-5: DACAA 6-10: DCBBD 11、12：CB
二、填空题
13.?1,??? 14.
?5?3 15. 6 16.?,1? ?4?5?三、解答题
17.解：（1）因为S1?a1,S3?a3,S2?a2成等差数列， 所以2?S3?a3???S1?a1???S2?a2?，