2. 假定 [a] 是模 的一个剩余类.证明,若a 同 n 互素,
那么所有[a]的书都同n 互素(这时我们说[a]同n 互素). 证 设x?[a] 且(x,n)?d 则x?dx1,n?dn1
由于x?a?nq?a?x?nq?dx1?dn1q?d(x1?n1q)
故有 da, ,且有 dn
因为 (a,n)?1 所以d?1
3. 证明, 所有同 n 互素的模 n的剩余类对于剩余类的乘法来说
作成一个群(同 互素的剩余类的个数普通用符号?(n) 来表示,并且把它叫做由
拉?函数)
证G?{[a]而[a] 同n 互素}
G显然非空,因为[1]?G((1,n)?1)
(ⅰ)[a],[b]?G
则[a][b]?[ab]
又(a,n)?1,(b,n)?1有(ab,n)?1
?[ab]?G
(ⅱ)显然适合结合律.
(ⅲ)因为n有限,所以G的阶有限. 若[a][x]?[a][x] 即[ax]?[ax]
'''由此可得nax?ax?a(x?x)?(a,n)?1,?nx?x
''即有[x]?[x]
另一个消去律同样可证成立.
'G作成一个群
4. 证明,若是(a,n)?1, 那么a?(n)?1(n)(费马定理)
证 (a,n) 则[a]?G
而 [a] 的阶是G的阶 ?(n)的一个因子 因此[a]即[a?(n)?(n)?[1]
]?[1]
?a?(n)?1(n)
5 子环、环的同态
1. 证明,一个环的中心是一个交换子环.
证 设N是环的中心.
显然O?N a,b?N，x是环的任意元
(a?b)x?ax?bx?x?xb?x(a?b)?a?b?N (ab)x?a(bx)?a(xb)?(ax)b?(xa)b?x(ab)?ab?N
是子环,至于是交换环那是明显的.
2. 证明, 一个除环的中心是个域.
证 设!是除环！是中心 由上题知N是R的交换子环
1?R,显然1?N,即N包含非零元,同时这个非零元1是的单位元.
a?N,x?R即ax?xa
axa?xaa?axa?x?xa?1?1?1?1?a?1x?a?1?N
?N!是一个域
3. 证明, 有理数域是所有复数a?bi(a,b是有理数）作成的域R(i)的唯一的真子域. 证 有理数域R是R(i)的真子域.
设F!是R(i)的一个子域,则F?R(因为R是最小数域) 若a?bi?F, 而b?0
则i?F?F?F(i)
这就是说,R是R(i)的唯一真子域.
4. 证明, R(i)有且只有两自同构映射.
证 有理数显然变为其自己. 假定i??
22则由i??1????1???i或 ???i
这就证明完毕. 当然还可以详细一些:
?1:a?bi?a?bi ?2:a?bi?a?bi
?1,?2确是R(i)的两个自同构映射.
现在证明只有这两个. 若?:i???a?bi
(有理数变为其自己)
则由i2??1?(a?bi)2?a2?b2?2abi??1 2ab?0,a2?b2??1
2若 b?0?a??1 是有理数,在就出现矛盾,所以有a?0 因而b??1.
在就是说, 只能i?i 或i??ii
5. J3表示模3的剩余类所作成的集合.找出加群J3的所有自同构映射,这找出域J3!的所有自同构映射.
证 1）对加群J3的自同构映射 自同构映射必须保持!0??0 故有?1:i?i
2）对域J3的自同构映射.
?自同构映射必须保持0??0，1?1
所有只有?:i?i
6. 令R是四元数除环, R是子集S?{一切(a,0)}这里a阿是实数,显然与实数域S同构.令R是把R中S换成S后所得集合;替R规定代数运算.使R?R,分别用i,j,k表示R的元(i,0),(0,1),(0,i), ,那么R的元可以写成a?bi?cj?dk(a,b,c,d是实数）的形式(参看3.3. 习题5). 验证.i2?j2?k2??1，ij??ji?k,jk??kj?i,ki??ik?j.
证 1）对?:(a,0)?a来说显然S?S 2）S?{一切(a,0)} a实数 S?{一切（a,0) a实数 R?{(?,??一切(a,0)} 复数对(??)是不属于S的R的元. R?{(?,??一切a}
规定
?:(?,?)?(?,?),(a,0)?a
由于S与S的补足集合没有共同元,容易验证?是R与R间的一一映射. 规定
????
????????R的两个唤的和等于它们的逆象的和的象. R的两个元的积等于它们的逆象的积的象.
首先,这样规定法则确是R的两个代数运算.
?其次,对于这两个代数运算以及R的两个代数运算来说在?之下R?R
? （3）由3.3.习题5知
(a?bi,c?di)?(a,0)?(b,0)(i,0)?(c,0)(0,1)?(d,0)(0,i) 这里 a,b,c,d 实数
这是因为令i?(i,0),j?(0,1),k?(0,i)
（4）i2?(i,0)(i,0)?(?1,0)??1
j2?(0,1)(0,1)?(?1,0)??1 k2?(0,1)(0,1)?(?1,0)??1 ij?(i,0)(0,1)?(0,1)??k ji?(0,1)(i,0)?(0,?i)??k
同样jk??kj?i,ki??ik?j
6 多项式环
1. 证明, 假定R是一个整环,那么R上的一个多项式环R[x]也是一个整环. 证 R!是交换环?R[x]交换环, R有单位元1?1是R[x]的单位元, R没有零因子?R[x]没有零因子
事实上，f(x)?a0?a1x??anxn,a?0 g(x)?b0?b1x??bmxm,bm?0
则f(x)g(x)?a0b0???anbmxn?m 因为R没有零因子,所以anbm?0 因而f(x)g(x)?0 这样R[x]是整环
2． 假定R是模7的剩余类环,在R[x]里把乘积 ([3]x?[5]x?[4])([4]x?x?[3]) 计算出来
解 原式=[5]x5?[3]x4?x3?[5]x?[5]?[5]x5?[4]x4?x3?[5]x?[2] 3. 证明:
(ⅰ) R[?1,?2]?R[?2,?1]
(ⅱ) 若x1,x2,?,xn是R上的无关未定元,那么每一个xi都是R上的未定元. 证 （ⅰ）R[?1,?2]?{一切 R[?2,?1]?{一切
由于
32
?ai1i2i1i2?2?1}
?ai1i2i1i2?2?1?a??}
??a??
j2j1j2j121j2j121j2j1因而R[?1,?2]?R[?2,?1]
（ⅱ）设
n?axnkki?0
即
?ax?x0k1k?0k0?0h0i?1ii?10 xx?xn 因为x1,x2,?xn是R上的无关未定元,所以
即xi是R上的未定元
4. 证明:
(ⅰ) 若是x1,x2,?xn和y1,y2,?yn上的两组无关未定元,那么
R[x1,x2,?xn]?R[y1,y2,?yn]
(ⅱ) R!上的一元多项式环R[x]能与它的一个真子环同构. 证 (ⅰ)?:f(x1,x2,?xn)?f(y1,y2,?yn) 根据本节定理3 R[x1,x2,?xn]~R[y1,y2,?yn]
容易验证f1(x1,x2,?xn)?f2(x1,x2,?xn)?f1(y1,y2,?yn)?f2(y1,y2,?yn) 这样R[x1,x2,?xn]?R[y1,y2,?yn]
（ⅱ）令R[x]?{一切a0?a1x2???anx2n}
显然R[x2]?R[x] 但x?R[x2]不然的话
x?b0?b1x2??bmx2m?b0?x?b1x2??bmx2m
这与x是R上未定元矛盾. 所以R[x2]是R[x]上未定元显然 故有（ⅰ）R[x]?R[x}
这就是说,R[x]是R[x]的真子环,且此真子环与R[x]同构.
227 理想
1. 假定R是偶数环,证明,所有整数4r是?的一个理想,等式!对不对? 证 4r1,4r2??,r1,r2?R
4r1?4r2?4(r1?r2)?? ?r1?r2?R r?R,(4r1)r?4(r1r)?? r1r?R ?? 是R的一个理想. 等式 ??(4)不对
这是因为R没有单位元,具体的说4?(4)但4??
2. 假定R是整数环,证明(3,7)?1.
证 R是整数环,显然R?(1) (3,7)?1.
''''