又 1?(?2)3?1(7)?(3,7)
?(3,7)?1
3. 假定例3的R是有理数域,证明,这时(2,x)是一个主理想. 证 因为2与x互素,所以存在P1(x),P2(x)使
2P1(x)?xP2(x)?1?1?(2,x)
?R[x]?(1)?(2,x) 。 即~是一个主理想.
4. 证明,两个理想的交集还是一个理想.
证 ?和?是两个理想
???非空显然 a,b???a,b??.
?a?b??,a?b???a?b????.
a????,r?R?a??,r?R
?ra,ar??,ra,ar???ra,ar????
5. 找出模6的剩余类环的所有理想.
证 找出的理想是
R?{[0],[1],[2],[3],[4],[5]}
R1?{[0]} R2?{[0],[3]}
R3?{[0],[2][4]}
我们只有这四个 理想必包[0]
若包含[1]或[5]则必包含所有的元
若同时含[2],[3];或[3],[4]则必包含[5]或[1]
6. 一个环R!的一个子集S叫做R的一个左理想,假如 (ⅰ)a,b?S?a?b?S (ⅱ)a?S,r?R?ra?s
???a11a12???F?证 22????? a11是有理数 aa??22???21???a0?a0??c0??a?c0????????取???? ?????? ?b0????????0?c?d0b?d0c12b0???c11???b?c11??c12?12??a?0???c11a?????F???????22 ??c???????? cccca?cb0b0?2122???2122?2122?????是F22的一个左理想,
你能不能在有理数域F上的2?2矩阵环里找到一个不是理想的左理想/
但它不是理想.
?a0??c11c12??ac11ac12???????? ?b0????c??????21c22??bc21bc22?（只要ac12?0或bc12?0)
8 剩余类环、同态与理想
1. 假定我们有一个环R的一个分类，而S是由所有的类[a],[b],[c],?所作成的集合 又假定[x]?[y]?[x?y],[x][y]?[xy]规定两个S的代数运算，证明[0]是R的一个理想 并且给定类刚好是模[0]的R剩余类。
证 （ⅰ） 先证[0]是R的一个理想a,b?[0]
即[a]?[0],[b]?[0] [a]?[b]?[0]?[0]?[0?0]?[0]
而[a]?[b]?[a?b] ?[a?b]?[0]?a?b?[0] a?[0] [a]?[0] [a]?[?a]?[a?a]?[0] [a]?[?a]?[0]?[?a]?[0?a]?[?a] ?[?a]?[0]??a?[0]
,[ra]?[r][a?] r?R?ra?[0] 同理ar?[0]
于是[0]是R的理想
[r][?0]r[?0 ] （ⅱ） 若x,y属于同一类，即[x]?[y] [x]?[y]?[x]?[?y]?[x?y]?0 x?y?[0] 即x,y属于对[0]同一剩余类
反之，若x,y属于对[0]的同一剩余类即x?y?[0]
所以[x?y]?[0]
即 [x]?[y] 亦即x,y属于同一类 这样给定的类正好是对[?]来讲的剩余类。
2． 假定?是环R到环R的一个同态满射，证明，?是R与R间的同构映射，当而且
只当?的核是R的零理想的时候。
证 （ⅰ） 若R?R，0的逆象只有0既核是零理想 （ⅱ） 若?的核的零理想 a,b?R而 a?b
那么a?b?核， ?(a?b)?0 即?(a)??(b)
?????是同构映射
3． 假定R是由所有复数a?bi是整数1作成的环，环R 证 R是有单位元的交换环
（1?i）有多少元？
那么主理想1?i的元的形式应为(a?bi)(1?i)?(a?b)?(a?b)i
x?yy?x,b? 22我们说当而且只当x,y的奇偶性相同时，a,b是整数 所以R共有两个元：
（1?i）一个元是[u?vi]而u,v奇偶性相同以[1?i]代表
令a?b?x,a?b?y a?一个元是[u?vi]而u,v奇偶性相反以[1?2i]代表 实际上，R的任二元a1?b1i,a2?b2i
而(a1?b1i)?(a2?b2i)?(a1?a2)?(b1?b2)i?(1?i) 则 a1?a2与b1?b2奇偶性相同
?(a1?a2)?(b1?b1)? 偶数 ?(a1?b1)?(a2?b2)?偶数 ?a1?b1 与a2?b2奇偶性相同
若 a1?b1 与 a2?b2 均奇数
?a1?b1以及a2,b2均奇偶性相反，若a1?b1与 a2?b2 均偶数 ?a1?b1以及a2,b2均奇偶性相同，反之亦然。
9 最大理想
1． 假定R是由所有复数a?bi(a,b是整数 所作成的环，证明，R 证 证法一，由3.8.习题3知R有零理想与单位理想，所以R(1?i)是一个域，
(1?i)是只包含两个元，是有单位元的交换环且
(1?i) 证法二，证明(1?i)是R的最大理想。
设?是R的一个理想，且
是一个域。
R???(1?i)
同时有a?bi?(1?i)而a?bi??
根据3.8.习题3知a,b奇偶性相反x?yi?R 若x?yi?(1?i)则x?yi??
若x?yi?(1?i) 则x,y的奇偶性相反
?同属一类
即(a?bi)?(x?yi)?(1?i)??
?是理想，故x?yi?R ，??R
而R是有单位元交换环自不必多说 根据本节定理R是域。
(1?i)
2． 我们看环R上的一个多项式环R[x]，当R是整数环时，R[x]的理想(x)是不是最 大理想？当R是有理数域的时候，情形如何？
证 （ⅰ）R是整数环时，(x)不是R[x]的最大理想
这是因为由3.7.例3知(2,x)是R[x]的理想 明显的有R[x]?(2,x)?(x) 且R[x]?(2,x)?(x)
（ⅱ）当R是有理数域时，可证(x)是R[x]的最大理想。
设?是R[x]的一个理想，且??(x)而??(x) 那么，b0?b1x???bmxm??,b0?0
?1?是理想b0(b0?b1x???bmxm)??
?1即1?b0b1x???b0bmxm?(x)?? ?1而b0b1x???b0bmxm?(x)??
?1?1 (1?b0b1x???b0bmxm)-b0b1x???b0bmxm?1??
?1?1?1?1于是??R[x]
3． 我们看所有偶数作成的环R。证明，（4）是R的最大理想，但R 证 设?是R的一个理想，且??4而??(4)
则?除包含4n外还至少包含一个m而m?4q?r
4不是一个域。
0?r?4
m是偶数，只有r?2
那么，2?r?m?4q?? 故有??R
即(4)是R的最大理想。
R只包含两个元[2],[4]
4而没有单位元：
[2][2]?[4],[2][4]?[4]
所以R
4． 我们看有理数域F上的全部2?2矩阵环F22，证明，F22只有零理想同单位理想， 但不是一个除环。
11 证 设?是F22的一个理想，??0 ????a?21不失一般性，假设a11?0
4不是一个域。
?aa12??00?????00?? a22?????10??a11a12??10??a110??????????? ???????aaa22000000000a121??????00???????21???11???? ??????? ?10??a??????10a11a11?0110?0?a1100??10????????21a22???a????易知? ?01???? ?0a???????0a?1??0a???11?11??11??????F22
那么??但F22不是除环 因为??
?12??没有逆 ??24?10 商域
1． 证明一个域！是它自己的商域。 证 设Q是F的商域
显然F?Q
a
q?Q则q?而a,b?F,b?0
b?1a?q??ab?F
b即Q?F ?F?Q
2． 详细证明本节定理3
证 本节定理3 是说；
假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域 那么F包含R的一个商域 现在证明 在F里
aab?1?b?1a?(a,b?R,b?0有意义，作F的子集 ?abQ?{所有} (a,b?R,b?0)
b?我们证明Q是F的子域
ac?,?Q(a,b,c,d?R,b?0,d?0) badc??ab?1?cd?1 bd?1?1?addb?cbb?1d?1
?(ad?bc)(bd)?1 ad?bc???Q
bd(ad?bc?R,bd?0且bd?R) ac?1ad??1?1?1?1?1?1()?ab(cd)?abdc?ad(bc)??Q bdbc(ad,bc?R)
Q对F的代数运算来说作成一个域再证Q?R
对R的任一元a及一元b?0则有
??ab?1?(ab)b?a?Q b? 因此，F包含R的一个商域Q