18.3 菱形的性质与判定
例1.如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC、AC分别交于点E、F、O，求证：四边形AFCE是菱形。
菱形的定义:邻边相等的平行四边形。 菱形的性质:菱形的四条边
例2.已知：如图，△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF∥BC交AD于点F，求证：四边形CDEF是菱形。
都相等； 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 菱形的判定定理： 1.四条边相等的四边形是菱
形。
例3.已知：如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F.（1）求证：AM=DM；（2）若DF=2，求菱形ABCD的周长．
例4.如图,已知菱形ABCD中E在BC上,且AB=AE,?BAE?1?EAD，AE交BD于M,试说明BE=AM. 2S菱形?ah(a为边，h为高)S菱形?1mn(m,n为对角线)2
例5.已知：如图，C是线段BD上一点，△ABC和△ECD都是等边三角形，R、F、G、H分别是四边形ABDE各边的中点，求证：四边形RFGH是菱形。
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例6.如图，在菱形ABCD中,AB=4a,E在BC上,BE=2a,?BAD?120?,P点在BD上，求PE+PC的最小值。
例7.如图，菱形ABCD边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE＋CF=2． (1) 求证：△BDE≌△BCF；判断△BEF的形状，并说明理由； (2) 设△BEF的面积为S，求S的取值范围．
例8.已知，一张矩形纸片ABCD的边长分别为9cm和3cm，把顶点A和C叠合在一起，得折痕EF（如图）． （1）猜想四边形AECF是什么四边形，并证明你的猜想． （2）求折痕EF的长．
例9.如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值,最小值为 ，如此摆放，当菱形周长最大时，则最大值是
课堂练习：
1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A.对角相等
B.对边相等 C.对角线互相垂直 D.对角线相等
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2.菱形相邻两角的比为1:2，那么菱形的对角线与边长的比为（ ） A.1:2:3
B.1:2:1
C.1:3:2
D.1:3:1
3.□ABCD的对角线相交于点O,分别添加下列条件:①AC⊥BD;②AB=BC;③AC平分∠BAD;④AO=DO,使得
□ABCD是菱形的条件有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图,菱形ABCD的周长为8,两邻角的比为2:1，则对角线的长分别为（ ） A.4和2
B.1和2
3
C.2和23
D.2和3
5.如图,在菱形ABCD中,∠A=1100，E，F分别是边AB和BC的中点,EP⊥CD于点P，则∠FPC=( ) A.35° B.45° C.50° D.55°
6.如图,在菱形ABCD中,∠A=600，E、F分别是AB，AD的中点,DE、BF相交于点G,连接BD,CG．有下列结论：①∠BGD=1200；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S?ABD?（ ） A.1个
B.2个 C.3个 D.4个
3AB2其中正确的结论有47.若菱形的两条对角线的比为3:4，且周长为20 cm,则它的一组对边的距离等于______ cm,它的面积等于________ cm2.
8.菱形的面积为83平方厘米，两条对角线的比为1:3,那么菱形的边长为_______. 9.已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3:4，则菱形的面积为 cm2． 10.已知菱形的周长是52cm,一条对角线长是24cm，则它的面积是 cm2． 11.如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一
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点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是
12.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，AC=10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为
13.如图,四边形ABCD对角线互相平分,要使它变为菱形,需要添加的条件是 （填一个条件即可）． 14.将两张长10cm宽3cm的长方形纸条叠放在一起,使之成600, 那么重叠部分的面积的最大值为______
15.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AC=8,BD=6,过点O作OH丄AB,垂足为H,则点O到边AB的距离
16.如图，两张宽为1cm的矩形纸条交叉叠放,其中重叠部分部分是四边形ABCD,已知∠BAD=300则重叠部分的面积是 cm2．
17.如图,四边形ABCD为菱形,已知A（0,4），B（-3,0）．则点D坐标为 ；C点坐标为 18.如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AC=12,BD=16,E为AD中点,点P在x轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（﹣5,0）和（5,0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标 ．
19.如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是
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20.如图,边长为1的菱形ABCD中,∠DAB=60．连结对角线AC,以AC为边作第二个菱形ACC1D1,使∠D1AC=60；连结AC1,再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1=60；……，按此规律所作的第n个菱形的边长为___________．
21.如图,依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形,再依次连结菱形各边的中点得
到第二个矩形,按照此方法继续下去.已知第一个矩形的面积为1,则第n个矩形的面积为
0
0
0
22.如图,在菱形ABCD中,∠A=600，AB=4,O为对角线BD的中点,过O点作OE⊥AB，垂足为E． （1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．
23.如图,在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合）,连接DP交对角线AC于E连接BE．
(1)证明:∠APD=∠CBE；(2)若∠DAB=600,试问P点运动到什么位置时，S△ADP=
1S菱形ABCD，为什么？ 4
24.如图,在矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,点P从点D出发向点A运动,同时点Q从点B出发向点C运动,点P、Q的速度都是1cm/s．
（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？
（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．
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