重叠问题
知识集锦
在很多计数问题中，常常要把所要计数的对象分为若干个不重复又不遗漏的类型，使得每类便于计数。但是实际的问题却往往较为复杂，而且容易混为一团，难以区分，而要准确无误的计算事物的个数就得运用容斥原理，这类问题往往被称为重叠问题，也叫包含于排除问题。
例题集合
例1 一个班有学生42人，参加体育代表队的有30人，参加文艺代表队的有25人，并且每个人至少
参加了一个队，这个班两队都参加的有几个人？
练习1 三年级有200名学生全部都参加了小组活动。报名参加体育小组的有180人，参加文娱小组
的有160人。问体育和文娱两个小组都参加的有多少人？
例2 四年级某个班的同学都参加兴趣小组的活动，已知有28人参加歌唱小组，26人参加美术小组，
两个小组都参加的有9人。该班共有多少人？
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练习2 某班56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没参加的有25
人，那么同时参加语文、数学竞赛的有多少人？
例3 有100位旅客，其中10人既不懂英语，又不懂俄语，有75人懂英语，有83人懂俄语。那么
这100位旅客中既懂英语又懂俄语的有多少人？
练习3 有40名运动员，其中有25人会摔跤，有20人会击剑，有10人摔跤、击剑都不会。问既会
摔跤又会击剑的运动员有多少名？
例4 某公司除6人没有参加业余培训学习外，其余员工都参加了学习。参加计算机学习的有27人，
参加外语学习的有32人，两种科目都参加的有11人。该公司共有多少名员工？
练习4 学校文艺组的成员每人至少会演奏一种乐器。已知会拉风琴的有24人，会弹电子琴的有17
人，其中两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共有多少人？
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例5 燕燕要制作一架飞机模型，只差下图所示的a的边长，一时求不出来，被难住了。已知正方形
与三角形一部分重叠着，乙三角形面积比甲三角形面积大5平方厘米。请你帮她算一下（单位：厘米）。
练习5 桌面上放有一张长12厘米、宽8厘米的长方形纸片和一张边长为7厘米的正方形纸片（如图
所示）。两张纸片覆盖住桌面的面积是多少平方厘米？
课堂练习
1、育苗学校四年级某班参加体育课外活动，第一小队同学排成一列横队，从左往右数，小明是第8
个，从右往左数小明是第9个。第一小队有多少名同学参加体育课外活动？
2、五年级有学生122人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩，其中语文成绩优
秀的有65人，数学成绩优秀的有87人。语文、数学成绩都优秀的有多少人？
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3、某班36个同学在一次测验中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有
15人。问多少个同学答的两题都不对？
4、一个班有52人，班主任问：“谁做完了语文作业？请举手！”有32人举手。又问：“谁做完了数学
作业？请举手！”有35人举手。最后说：“谁的语文、数学作业都没有做完？”有8人举手。这个班数学、语文都做完的有多少人？
5、三年级（1）班参加合唱团的有40人，参加舞蹈队的有20人，既参加合唱队有参加舞蹈队的有
14人。这两队都没参加的有10人。请你算一算这个班共有多少人？ （1）图解。 （2）列式计算。
6、有38人参加体育测试。短跑成绩优秀的有25人，跳高成绩优秀的有23人，两项成绩都优秀的有
15人。有几人两项成绩都没获优秀？
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7、六年级有62人参加田径和球类训练，其中参加田径训练的有29人，既参加田径训练又参加球类
训练的有18人，那么参加球类训练的有多少人？
8、某电子公司展出了每个生产车间的产品，其中有25件不是第一车间的，有20件不是第二车间的，第一、二车间参展的产品共15件。其他车间参展的产品共有多少件？
9、有77名同学参加数学竞赛，分两张考卷测试。答对A卷者得60分，答对B卷者得40分。已知考
完后有50人答对A卷，60人答对B卷，只有2人A、B卷都答错了。这次考试得40分的有多少人？得60分的有多少人？得100分的有多少人？
家庭作业
1、某年级（1）班有46人，其中会弹钢琴的有30人，会拉小提琴的有28人。则这个班既会弹琴又
会拉小提琴的至少有多少人？
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2、50名学生参加了数学和语文考试，其中语文得了100分的13人，数学得100分的18人，两门都
没得100分得有29人。问两门都得100分的有多少人？
3、有一批中国游客，其中会讲英语的有60人，会讲法语的有35人，英语和法语都会讲的有21人，
只会讲汉语的有23人，这批游客共多少人？
4、李老师出了两道题，全班40人中，第一题有30人对，第二题有12人未做对，两题都做对的有
20人。
（1）第2题对，第1题不对的有多少人？ （2）两题都不对的有多少人？
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