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第5讲 质数与合数
自然数中，除1和它本身外，没有其他约数的数就是质数，质数又叫做素数．2是最小的质数，也是唯一的一个偶质数．一个数除1和它本身外，还有其他的约数，那么这个数就是合数．1既不是质数，也不是合数，
全体整数可分为：1、质数和合数三类．
题1 一个三位数，等于它的各位数字之和的12倍，试写出所有这样的三位数。
通过设未知数，建立等式的办法，利用质数与合数的性质作为解题的突破口．
解 设这样的三位数为abc,则
100a?10b?c?12(a?b?c),c?8a?因为a，b，c均为整数，且b≤9， 所以b=0，c=8a
又因为1?a?9,0?C?9, 所以a?1,c?8.
2b. 11故所求的三位数是108．
只要正确利用质数与合数的性质，合理地选择代数式便可使解题思路清晰准确， 读一题，练3题，练就解题高手
1-1．两个质数的和是40，求这两个质数的乘积最大是多少？ 1-2．（“希望杯”邀请赛）若a，b，c是1998的三个不同质因数且a 1-3．有一个四位数，把它从中间分成两半，得到前后两个两位数，将前面的两位数末尾添上一个O，然后 加上前后两个两位数的乘积，恰好等于原来的四位数，又知道原数的个位数字是5，求这个四位数 q?4的值是多少？ 题2 已知p,q都是质数，以x为未知数的方程Px2?5q?97的根是1，则40P?101根据方程的根为1，可知一个质数与另一个质数的5倍为奇数，所以其中必有一个为偶质数． 解 将x-l代入方程，得 因为p，q均为质数，故p，q中必有一个为2． 若q=2，则p=87，不合题意； 若p=2，则q=19. q?4中，得40?2?101?19?4?2003. 将P?2,q?19代人40P?101合理运用2这一唯一偶质数的性质，可以迅速解答类似的问题． 读一题，练3题，练就解题高手 2-1．如果正整数p，q都是质数，并且7p+q与pq+ll也都是质数，那么p，q的值分别为 ． 2-2．若质数m，n满足5m?7n?129,则m十n的值是多少？ 2-3．已知关于x的方程(a?1)x 2?2x?a?1?0的根都是整数，那么符合条件的整数a有多少个？ 初中数学题典网 http://www.czsxtd.com/ 2 题3 求方程?1x11?的整数解 y7充分利用分解质因数的方法求未知数的值， 解 设x?7?k1,y?7?k2(k1,k2是两个整数），则 111??? 7?k17?k27通分，整理，得k1k2?72. 因为72?49?1?49?7?7?(?1)?(?49)?(?7)?(?7), ?x??42,?x?8,?x?56,?x?14,?x?6,故方程的整数解为?或?或?或? ?y?56y??42y?8y?14y?6.?????读一题，练1题，决出能力高下 3-1.小孩子将玻璃弹珠装进两个盒子，每个大盒子装12颗，每个小盒子装5颗，若弹珠共有99颗，所用 盒子的个数大于10，则大盒子与小盒子各有多少个？ 题4 求方程7x?4y?100的非负整数解 准确地表示出通解，再进行分析，可以完整地求出特征解． ,可知x?0,y?25是方程的一个特解， 解 由方程7x?4y?100因此??x?4t,（t为整数）是方程的全解． ?y?25?7t?4t?0,25, 由?得0?t?7?25?7t?0,从而t=0,1,2，3． 故方程的非负整数解为? 巧妙地利用二元一次方程的解的不定性从通解中求出符合条件的结果， 读一题，练3题，冲刺奥数金牌 4-1．xy表示一个十位数字为x，个位数字为y的两位数且x，y满足条件x?y?5x,求此两位数． 4-2．求方程2x?5y?26的全部整数解． 4-3．已知a，b，c是三个两两不同的奇质数，方程(b?c)x?5(a?1)x?225?0有两个相等的实数 根． 222?x?0,?x?4,?x?8,?x?12,或?或?或? y?25y?18y?11y?4.????