全国高中数学联合竞赛试题及参考答案
一、(满分50分)如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 平分∠ BAD 。在 CD 上取一点 E ， BE 与 AC 相交于 F ，延长 DF 交 BC 于 G 。 求证：∠ GAC =∠ EAC .
解析：连结BD交AC于H．对△BCD用塞瓦定理，可得
因为AH是∠BAD的平分线，由角平分线定理，可得 故
．
．
过点C作AB的平行线AG的延长线于I，过点C作AD的平行线交AE的延长线于J． 则 . 所以， 从而，CI=CJ.
又因为 CI∥AB，CJ∥AD， 故 ∠ACI=π-∠ABC=π-∠DAC=∠ACJ． 因此，△ACI≌△ACJ．
从而，∠IAC=∠JAC，即 ∠GAC=∠EAC．
二、(满分50分)给定实数 a , b , c ，已知复数 z 1 , z 2 , z 3 满足：
z1z2z3???1，求| az 1 + bz 2 + cz 3 |的值。 z2z3z1解析：记 e可设
iθ
=cosθ+isinθ．
，则
，
z1?ei(???)． z3 由题设，有
e
iθ
+e
iφ
+e
-i(θ+φ)
=1.φ
两边取虚部，有
0=sinθ+sinφ-sin(θ+φ)
故θ=2kπ或φ=2kπ或θ+φ=2kπ，k∈Z． 因而，z1=z2或z2=z3或z3=z1． 如果z1=z2，代入原式即 故
．
．
这时，|az1+bz2+cz3|=|z1||a+b±ci| =
．
;
类似地，如果z2=z3,则|az1+bz2+cz3|=如果z3=z1,则|az1+bz2+cz3|= 所以，|az1+bz2+cz3|的值为
．
．
或
或
三、(满分50分)给定正整数 n ，已知用克数都是正整数的 k 块砝码和一台天平可以称出质量为1,2,3,…, n 克的所有物品。 （1）求 k 的最小值 f ( n )；
（2）当且仅当 n 取什么值时，上述 f ( n )块砝码的组成方式是唯一确定的？并证明你的结论。
解析：(1)设这k块砝码的质量数分别为a1,a2,…,ak，且1≤a1≤a2≤…≤ak，ai∈Z，1≤i≤k．因为天平两端都可以放砝码，故可称质量为
xiai,xi∈｛-1，0，1｝．若利用这k块砝码可
以称出质量为1，2，3，…,n的物品，则上述表示式中含有1，2，…，n，由对称性易知也含有0，-1，-2，…，-n，即 ｛
xiai|xi∈｛-1，0，1｝｝
｛0,±1，…，±n｝．
所以，2n+1=|｛0，±1，…，±n｝| ≤|｛0，1｝｝|≤3k， 即 n≤
xiai|xi∈｛-1，
设 则 p-=yi3i-1-3i-1=(yi-1)3i-1 ． 令xi=yi-1，则xi∈｛-1，0，1｝． 故对一切-≤l≤ xi∈｛-1，0，1｝． 的整数l，都有l= xi3i-1 ,其中yi3i-1，其 由于n≤，因此，对一切-n≤l≤n的整数l，也有上述表示． 综上，可知k的最小值 f(n)=m·( ) . (2)Ⅰ.当 ，由(1)可知 l= xi3i-1，xi∈｛-1，0，1｝． xi3i-1+0·(3m-1)； ． ， 则 由(1)可知 l+1= ，其中xi∈｛-1，0，1｝． 3i-1-1= -1,矛盾)则 易知xm+1=1．(否则l≤ l=·(3m-1)． 时，f(n)块砝码的组成方式不惟一． 所以，当n≠ Ⅱ.下面我们证明：当n=时，f(n)=m块砝码的组成方式是惟一的，即ai=3i-1(1≤i≤m)． 若对每个-≤l≤ ,都有l= xiai，xi∈｛-1，0，1｝． ｝． 即 ｛xiai|xi∈｛-1，0，1｝｝｛0,±1，…，± 注意左边集合中至多有3m个元素．故必有 ｛ xiai|xi∈｛-1，0，1｝｝=｛0,±1，…，± ≤l≤ ,都可以惟一地表示为 ｝． 从而，对每个l，- l=因而， ai= ．则 xiai，其中xi∈｛-1,0,1｝． (xi+1)ai=xiai+ai=xiai+． 令yi=xi+1,则yi∈｛0，1，2｝． 由上可知，对每个0≤l≤3m-1，都可以惟一地表示为 l=yiai，其中yi∈｛0，1，2｝． 特别地，易知1≤a1 下面用归纳法证明ai=3i-1?(1≤i≤m)． 当i=1时，易知yiai中最小的正整数是a1,故a1=1． 假设当1≤i≤p时，ai=3i-1 ． 由于 yiai= yi3i-1, yi∈｛0，1，2｝就是数的三进制表示， 易知它们正好是0，1，2，…,3p-1，故ap+1应是除上述表示外｛yiai|yi∈｛0,1,2｝｝中最小的数，因此，ap+1=3p． 由归纳法可知，ai=3i-1(1≤i≤m)． 综合Ⅰ，Ⅱ可知，当且仅当n=方式是惟一确定的． 时，上述f(n)块砝码的组成