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图5 弹簧一阶模态图
二阶振动模态变形如图6，由图可知其二阶振动为弹簧侧向变形，其固有频率为9.3414Hz；变形比例为0.145698。二阶振动固有频率大于车辆激振频率。
图6 弹簧二阶振动模态
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三阶振动模态变形如图7，由图可知其三阶振动为弹簧轴向变形，其固有频率为17.778Hz；变形比例为0.163006。三阶振动固有频率大于车辆激振频率。
图7 弹簧三阶振动模态
其四阶振动模态变形如图8，由图可知其四阶振动为弹簧扭转变形，其固有频率为20.665Hz；变形比例为0.134965。四阶振动固有频率大于车辆激振频率。
图8 弹簧四阶振动模态
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综上所述，弹簧的四阶振动的最小固有频率为9.2341Hz，该值大于车辆激振频率(2～7Hz)，故弹簧不会发生共振。
2.4 疲劳寿命分析
疲劳强度是指金属材料在无限多次交变载荷作用下而不破坏的最大应力称为疲劳强度或疲劳极限。实际上，金属材料并不可能作无限多次交变载荷试验。疲劳破坏是机械零件失效的主要原因之一。据统计，在机械零件失效中大约有80%以上属于疲劳破坏，而且疲劳破坏前没有明显的变形，所以疲劳破坏经常造成重大事故，所以对于轴、齿轮、轴承、叶片、弹簧等承受交变载荷的零件要选择疲劳强度较好的材料来制造。
随着社会工业化的发展，疲劳理论的研究不断得到发展，直至今天人们还在不断探求各种受力部件得疲劳寿命规律，积累形成的理论已成为人们指导实践的重要理论。为了更好地研究圆柱螺旋压缩弹簧得疲劳寿命规律，我们必须研究零件的疲劳寿命理论。
机车车辆弹簧承受变载荷的作用，其主要失效形式是疲劳折断。以往在设计弹簧时，往只计算刚度及应力，而不考虑疲劳寿命，这种设计方法对应力水平较低的弹簧是可行的，因为当工作应力小于疲劳极限时，理论上，弹簧属无限寿命设计。但现代机车车辆正向高速重载方向发展，载荷不断增加，受结构空间限制，弹簧的应力水平增幅较大有可能使弹簧发生疲劳破坏，必须要对弹簧进行疲劳寿命分析[6]。
疲劳强度是指金属材料在无限多次交变载荷作用下而不破坏的最大应力称为疲劳强度或疲劳极限。材料、零件和构件在循环加载下，在某点或某些点产生局部的永久性损伤，并在一定循环次数后形成裂纹、或使裂纹进一步扩展直到完全断裂，叫做疲劳断裂。在工程上引起的疲劳破坏的应力或应变有时呈周期性变化，有时是随机的。在疲劳试验中人们常常把它们简化成等幅应力循环的波形，并用一些参数来描述。?max和?min是循环应力的最大和最小代数值；?=?min/?max是应力比；?m=(?max+?min)/2是平均应力；?a=(?max-?min)/2是应力幅。当?m＝0时，?max与?min的绝对值相等而符号相反，?＝-1，称为对称循环应力；当?min＝0时，?＝0称为脉动循环应力。
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图9 等幅应力循环的波形
2.4.1 材料的S-N曲线
传统的疲劳设计，是以材料的疲劳曲线或称s(应力)N(寿命)曲线y为依据的。由于实际数据存在很大的离散性，因此，只能用统计判断的方法绘制s(应力)N(寿命)曲线。对于不稳定变应力，要用损伤累积假说来估算零件的疲劳破坏寿命。
各种材料对变应力的抵抗能力是以在一定循环次数N下，不产生破坏的最大应力S来表示。S称为一定循环作用次数N的极限应力，也称为条件疲劳极限。对于一种材料，根据试验，可得出在各种循环作用次数N下的极限应力，以横坐标为作用次数N、纵坐标为极限应力，绘制材料的疲劳曲线，或称S-N曲线。应力愈高，则产生疲劳破坏的循环次数愈少。变应力低于某一数值时，则材料不再产生疲劳破坏，此时的应力称为材料的疲劳极限。出现疲劳极限的循环次数称为循环基数N。，一般钢材为106次左右。疲劳寿命曲线可以分为三个区域:
（1）低循环疲劳区，在很高的应力下，在很少的循环次数后，试样即发生断裂，并有较明显的塑性变形。一般认为，当循环应力超出弹性极限时会发生低循环疲劳。低循环疲劳又称为短寿命疲劳。
（2）高循环疲劳区，在高循环疲劳区，循环应力低于弹性极限，疲劳寿命长，大于105次，且随循环应力降低而寿命大大延长。试样在断裂前，整体上无可测的塑性变形，在宏观上表现为脆性断裂。在此区内，试样的疲劳寿命长，高循环疲劳又称长疲劳寿命。低循环疲劳区和高循环疲劳区，试样的疲劳寿命总是有限的，因此，这两个区合称有限寿命区。
（3）无限寿命区或安全区，试样在低于某一临界应力幅的应力下，可以经受无数次应力循环而不断裂，疲劳寿命趋于无限。在绝大多数情况下，疲劳曲线(S-N)曲线存
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在一条水平渐近线。
进行弹簧疲劳寿命分析的依据是材料的S-N曲线，
材料的S-N曲线是进行寿命分析的基础, 缺乏相关数据时可由下式中的两点法获得。
??1=0.27(?s+?b)
?3=0.9?b
式中: ?s——屈服极限；
?b——强度极限； ??1——疲劳极限；
?3——寿命等于103次时的条件疲劳极限。
本例的材料的S-N曲线见图
图10 弹簧疲劳S-N曲线
S-N曲线中的S为应力（或应变）水平，N为疲劳寿命。S-N曲线是由试验测定的，试样采用标准试样或实际零件、构件，在给定应力比?的前提下进行，根据不同应力水平的试验结果，以最大应力?max或应力幅?a为纵坐标，疲劳寿命N为横坐标绘制S-N曲线，当循环应力中的?max小于某一极限值时，试样可经受无限应力循环而不产生疲劳破坏，该极限应力值就称为疲劳极限。
2.4.2 疲劳强度缩减因子
根据GB1222-84《弹簧钢》的要求，弹簧表面不得有划痕、裂纹等缺陷。可以认为
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