习题7.11.下面个线性空间对所规定的运算?，?，是否可作成欧氏空间？1?在R2中，对任意???x1,y1?，???x2,y2??R2，规定?,??x1y1?x1y2?x2y1?3x2y2；2?在R中，对任意???a1,a2,?,an?,???b1,b2,?,bn??R，规定?，???aibi;22i?1n3?在线性空间Mn?R?中，对任意A，B?Mn?R?，规定A,B?tr?B'A?.答：1?，2?不能；3?能.2.在欧氏空间V中，对于任意向量?，?，?，证明：1????，???，???，?；2?????????2??2?；3??，??1?14???4???.证明：1?对于左边有???，????????，???，????，? ??，???，??右边 2?对于左边????，???????，??? ??，??2?，???，???，??2?，???，? ?2?，??2?，??2??2?,得证 3?对于右边? ?141422222222???，????14???，???????，???????，???? ?14?4?，??右边，得证3.在欧氏空间R4中，求向量?与?的夹角：1????2，1，3，2?，???1，2，?2，；1?2????1，2，2，3?，???31，，5，1?.解 1?由题有?，??2?2?6?2?0 所以???，即夹角为900 2?由题有?，??3?2?10?3?18 ???，??32，???，??62，即夹角为45度.24.在R3中求一个单位向量?，使它同时与???1，?4，0?，????1，2，2?都正交. 所以cos??解 设???x1,x2,x3?.由题有?，???,??0x1?4x2?0? 故有?，解得x1?4x2?4x3?x?2x?2x?023?1?2222?所以有基础解系为?4，1，1?，故单位化后有????3，6，6??.??5.在欧氏空间V中，证明：1?若???，则???????；?勾股定理?2222?若???，则???????????；3????????????，则???????????.证明：由题有1????????，?????，??2?，???，? ???2?，?????1? 又????，?有?,??0，故有?1?????，得证 2?????，??，???，?，即?，???，??0 ??，???，???，???，??0 即?，???????，???，????0 ????，????0 即??????????? 3????????????? ????,?????，???，???，???，??0??2? 对于?????，??2?，???,???3? ?????????，??2?，???,??2?，??2?，???4? 又由?2?可有?，???，???，???，? 即2?，??2?，??2?，??2?，? ??，??2?，???,???，??2?，??2?，??2?，???5? 显然，由?3?，?4?，?5?可得出??????????? 这个三角形是直角三角形.222222222222226.利用内积的性质证明，一个三角形如果有一边是它的外接圆的直径，那么?????????证明：设?ABC的边AB是它的外接圆?O的直径，OA=?3， OB=?1， OC=?2，?????? CA=?1， BC=?2 显然有?1=?2=?3，?1=-?3，?1=?3-?2，?2??2??1 那么?1，?2??3??2，?2??1 ??3，?2??3，?1??2，?2??2，?1 ??3，?2??3，?3??2，?2??2，?3 ??3??2?0 ??1??2，即此三角形是直角三角形227.证明：对任意实数a1,a2,?,an有?ai?n?a12?a2???an?.i?1n22
证明：设?=?a1,a2,?,an?,???1,1,?,1? 将?,?看作欧氏空间Rn的向量，则由Cauchy-Schwarz不等式有22 ?，?????，即?ai?a12?a2???an?12?12???12i?122 所以?ai?n?a12?a2???an?i?1nn8.设?1,?2,?,?n是n维欧氏空间V的一个基。证明：1?若??V,且?,?i?0,i?1,2,?,n,则??0；2?若?，??V,并且?,?i??,?i,i?1,2,?,n,则???.证明：1?设??k1?1?k2?2???kn?n, 则由于??,?i??0，故??,????,?ki?i??ki??,?i??0i?1i?1nn 从而有??0 2?因对任意?i均有?,?i??,?i,i?1,2,?,n, 即也有???,?i?0 又因?，??V故有?-??V 由上题知????0，即??? 习题7.21.下列三组向量是不是R3的正交组？是否构成R3的标准正交基？1??1??111，，，0，，1??3??1，0，0?；??2??1，2??1??2，0，0?，?2??0，?1，0?，?3??0，0，3?；3??1??3，2?，?2?16，3?，?3?1，?2，6?.?6，7?2，7??3答：1?不是；2?，3?是.2.已知?1??0，2，1，0?，?2??1，?1，0，0?，?3??1，2，0，?1?，?4??1，0，0，1?17
是R4的一个基，对于这个基用正交化方法求出R4的一个标准正交基.解：令?1??1??0，2，1，0? ??2??2? ?3??3??1，?12?1??1，?15，，50??1，?1?3，?1?，?1?1?32?2??12，，2?1,?1??1，?1?2，?2
?4，?1?4，?2?4，?38444 ?4??4??1??2??3??15,15,?15,15??1，?1?2，?2?3，?3 ?有?1? ?3??1?15?12??1,?,,0?,?0,2,1,0?,?2?2???1?55?530?2?3?42?111544?84?,,?1,?1，???,15?15,15,?15?4???3?4410?22? 即?1，?2，?3，?4为所求的标准正交基3.设?1,?2,?3是三维欧氏空间的一个标准正交基，求证：?1?13?2?1?2?2??3?,1 ?2?13?2?1??2?2?3?,?3?3??1?2?2?2?3?,也是一个标准正交基.证明：由?1,?2? ?1913?2?1?2?2??3?,13?2?1??2?2?3?2?1?2?2??3,2?1??2?2?3??1?19 又因?1,?2,?3是三维欧氏空间的一个标准正交基 ?有?1??19??2?1,2?1?2?2,??2???3,2?3??? 同理可有：?1,?3?0,?2,?3?0 又有?1,?1?1，?2,?2?1，?3,?3?1 故?1，?2，?3也是一个标准正交基4.设?1,?2,?,?n是n维欧氏空间的一个基.证明：?1,?2,?,?n是V的标准正交基当 且仅当以下两条件之一成立：1?对于V中任一向量??x1?1?x2?2???xn?n都有?,?i?xi,i?1,2,?,n;2?对于V中任意两个向量??x1?1?x2?2???xn?n和对于V中任一向量 ??y1?1?y2?2???yn?n都有?，??x1y1?x2y2???xnyn.证明：必要性.当?1,?2,?,?n是V的标准正交基时，1?，2?显然成立 充分性.当条件1?成立时，求证?1,?2,?,?n是V的标准正交基 因对于??，有???，?1?1??，?2?2????，?n?n ?对于?i?V有?i??i,?1?1????i,?i?i????i,?n?n 又因有?i?0??1???1??i???0??n 由于n维线性空间中任意向量均可由它的基唯一表示 ?有?i,?j?0?i?j?， ?i,?i?1 即是说?1,?2,?,?n是V的标准正交基 当2?成立时，因?,??x1y1???xnyn 显然有?i,?j?0?i?j?， ?i,?i?1，得证5.设?1,?2,?3,?4,?5,是欧氏空间V的标准正交基，?1??1??5，?2??1??2??4， ?3?2?1??2??3.求V的子空间L??1,?2,?3?的标准正交基.解：显然?1,?2,?3是V子空间的一个基 令?1??1??1??5?4?2?2??0?,?1 ??2??2?21?1?12?1??2??4?2?5?1,?1 ?3??3? ?有?1?
?3,?1?,?1?1?32?2?12?1??3??4?2?5?1,?1?2,?2?1?121???1??5?,?2?2??2?1??2??4?12?5?,?1?2102 ?3??321??2?1??3??4?12?5??3101 即?1,?2,?3是L??1,?2,?3?的标准正交基6.在R4?x?中，定义内积f?x?,g?x???f?x?g?x?dx,对基?1,x,x2?正交化，?1 求出R4?x?的一个标准正交基.解：取R4?x??1?1,?2?x,?3?x2,?4?x4,将其正交化，可得?1??1,1?2,?1 ?2??2???x,其中?2,?1??x?1dx?0?1?1,?11 又因为?3,?1??2,?2??x2dx??1123 ?1,?1??1?1dx?2,?111 ?3,?2??x2?xdx?0?1 所以?3??3??3,?1?,?1?1?32?2?x2??1,?1?2,?23?4,?1?4,?2?4,?33 同理可得，?4??4??1??2??3?x3?x?1,?1?2,?2?3,?35 再将?1,?2,?3,?4单位化，即得 ?1? ?3??1?26?, ?2?2?x,?12?22?3?410142?3x?1，???5x3?3x????4?34?44 且?1，?2，?3，?4即为所求的一组标准正交基7.设?是欧氏空间V到V'的一个同构映射.试证：如果?1,?2,?,?n是V的标准正交基，则???1?，???2?，?，???n?是V'的一个标准正交基.证明：?V?V' ????i?,???j???i,?j 又??1,?2,?,?n是V的标准正交基?1, i?j ?有???i?,???j????0, i?j 即???1?，???2?，?，???n?是V'的一个标准正交基
?2x1?x2?x3?x4?3x5?0,8.求齐次线性方程组?的解空间的一个标准正交基.x?x?x?x?0,1235?