习题7.51.判断正误：1?n维欧氏空间V的两个对称变换的和还是一个对称变换；2?n维欧氏空间V的两个对称变换的乘积还是一个对称变换；3?实对称矩阵都可以对角化；4?欧氏空间的对称变换的特征向量必正交.答：1?，3?正确；2?，4?错误.2.设?，?是欧氏空间V的两个对称变换，证明：?????是对称变换.证明：任取?，??V 有，??????????,?????????,?????????,? ?????,?????????,???? ??,?????????,??????? ??,?????????? 依据对称变换定义有?????是对称变换3.证明：属于实对称矩阵的不同特征根的特征向量彼此正交.证明：设对称矩阵A有不同特征根?，?相应的特征向量分别为?，? 则有A????,A????,??,??0,???? 从而有??,??A?,???A?????T?A????,A????,? ?有?,??0，即得证4.对以下实对称矩阵A，求正交矩阵U，使UTAU是对角形矩阵.?5?200??22?2??2?1?1????2200?????1??25?4?； 2???12?1?； 3???005?2???2?45??1?12???????00?2?2??解：1?因A1的特征多项式为fA1?x??xE?A1??x?1??x?10? ?当?1?1时,由?1?E?A1?X?0，解得基础解系?1???2,1,0?,?2??2,0,1? 正交化得，?1??1???2,1,0?， ?2??2? 单位化得，?1?2T?2,?124?1??5,5,1??1,?1,0,53?11???2,1,0???255,?15?55??524 ?2?2??,,1???2355?322??13,3,?3??3?2515,4515,?
当?2?10时,由?10?E?A1?X?0，解得基础解系为?3??12,1,?1? 单位化得，?3???255?5 即得U??5??0?2515451553??100????T2，使得UAU?010?13????2?0010??3???13?22?66?33??10???T63 2?同1?可解得U??22163?,使得UA2U??0??0063??0???33??00??2515??1?200?5?5?, 3?同1?可解得U??7?657?650???0?130?1465130?1465??44?0?0130?1465130?1465??00??60??0100? 使得UTA3U???003?650?2??3?65??000?2?5.设A，B是n阶实对称矩阵.证明存在正交矩阵U，使UTAU条件是A，B的特征根完全相同.证明：必要性. 由于U是正交矩阵，故有U?1?UT ?UTAU?U?1AU?B，即是说A，B相似 即它们有相同的特征根0??0?4???B的充分必要 充分性. 令A，B的特征根为?1,?,?n，则存在正交矩阵T1，T2??1???1????1?? s..tT1?1AT1???,TAT??22???????n??n?????1 故有T1?1AT1?T2?1AT2,即B?T2T1?1ATT12?1 因此有T?TT12也是正交阵6.设A是实对称矩阵，且A2?A.证明：存在正交矩阵U，使?1????????1T UAU???.0?????????0??证明：任取?为A的特征根，且A????,??0 由于A2?A，即有???A??A2??A???????A????2? 即?2??,故??1或??0，因此存在正交矩阵U，使得结论成立
总习题1.判断正误：?a11?设M2?R?表示实数域上一切二阶矩阵构成的线性空间，对于M2?R?中向量A???a3?bb? B??12?，定义A,B?a1b4?a2b3?a3b2?a4b1,那么M2?R?构成欧氏空间.?b3b4?2?R2?x?是实数域上次数小于3的多项式与零多项式作成的线性空间.对于R2?x?中任意 多项式f?x?，g?x?，定义f?x?,g?x???f?x?g?x?dx，那么R2?x?作成欧氏空间多项式：.?11a2??，a4? 1,x,x2?13是R2?x?的一个正交基.3?欧氏空间中保持向量内积不变的变换是正交变换.4?三维欧氏空间R3有线性变换?：??a1,a2,a3???a1,a2,?a3?，那么?是正交变换，也是对称 变换.答：以上全部正确.2.选择题：在欧氏空间V中，下列各式中成立的是?D?：?A?????C??,??D??aii?1n2???????? ?B?0?22222?,??1??1?14????4??? 22?n?a12?a2???an?,ai是实数?i?1,2,?,n?2?，?2?，?3.设?，?是欧氏空间V的两个向量，且?，?线性无关，,都是?，??，??2?3?5?小于或等于零的整数.证明：?与?的夹角只能是，，，.2346证明：因为?，?线性无关,所以??0,??0, 则?与?的夹角??cos?1??,??,?，所以cos????1?????2 ?1?式两端平方并乘以4得， 4cos?? 因为2?,?,2?,?2?,??,??2?,??,??,??,?都是小于或等于零的整数， 所以4cos2?是非负整数 又因4cos2??4，所以4cos2?只能取0,1,2,3,4113 因而cos2?只能取0,,,,1424 因?，?线性无关，所以cos2??1?否则??0或?，与?，?线性无关矛盾?2?,?2?,? 又因,是小于0的整数，所以?,??0?,??,?123 cos?因此只能取0,?,?,?222?2?3?5? 故?与?的夹角只能是，，，23464.在欧氏空间中，证明：非零向量?，?正交的充分必要条件是???????.证明：必要性.因?，?正交，所以?,??0 从而???????,?????,?????,?????,???,? ????,??????? 即有??????? 充分性.若???????，则有??????? 故有?,??0，即?，?正交5.证明：下列三个条件中任何两个成立时，第三个必成立.1?A为实对称矩阵；2?A为正交矩阵；3?A为对合矩阵，即A2?I.证明：设AT?A,ATA?In,则有A2?AA?ATA?In. 设AT?A，A2?In，则有ATA?A2?In. 设ATA?In，A2?In，则有AT?ATIn?ATA2??ATA?A?InA?A6.设?，?是欧氏空间V的两个对称变换。证明：??是对称变换，当且仅当 ?????.证明：充分性.设????? 则对V中任意向量?，?有???????????，??????????? 由于?，?是V的对称变换，于是有 ?????,??????,??????,???????,????? 所以??是对称变换 必要性.设??是对称变换，于是有 ???????????,??????????? ??????,???????????,??????2?????,??????0 ?有????????????0,故?????7.欧氏空间V中的线性变换?称为反对称的，如果对任意?，??V， 有????,????,????.
2222 即???,???????,???，从而2?,???2?,?证明：1??为反对称的充分必要条件是，?在一个标准正交基下的矩阵为 反对称的实矩阵. 2?如果V1是反对称线性变换的不变子空间，则V1?也是?的不变子空间. 3?反对称实矩阵的特征值是零或纯虚数.证明：1?必要性.设?是反对称的，?1,?,?n是一组标准正交基 则???i??ki1?1???kin?n，?i?1,?,n? ????i?,?j??kij,???j?,?i?kji 由反对称知，???i?,?j???i,???j??kij??kji??0, 当i?j时 从而，kij??，，?ij?1,?,n??k, 当i?j时??jik12?k1n??0???k0?k2n? 故???1,?,?n????1,?,?n??12???1,?,?n?A?????????k?k?02n?1n? 充分性.设?在标准基?1,?,?n下的矩阵为A，由已知有 ???i?,?j???i,???j? 对任意?，??V，设??a1?1???an?n，??b1?1???bn?n 则????,???a1???1????an???n?,b1?1???bn?n? ??aibj???i?,???j?i,j????? 同理有，?,??????aibj?i,???j?,i,j? 故????,????,????，所以?是反对称 2?任取??V1?，可证?????V1?，即?????V1?. 事实上，任取??V1，由于V1是?的子空间，因此?????V1， 而??V1?，故?,?????0 再由题设，?是反对称的，知????,????,?????0 由?的任意性，即证?????V1，从而V1?也是?的不变子空间 3?设A为实反对称矩阵，?是它的任意一个特征根， 而???a1,?,an???是属于特征根?的特征向量 即A???? 一方面，有?A??????????? 另方面，又有?A?????A????A???????'''''''
??' 故????????'' 但是，???a1???an?0，故???? 即反对称实矩阵的特征值是零或纯虚数8.如果V?V1?V1?,而?????,??V,??V1,??V1?,则?称为?在V1上的正射影.设V1是欧氏空间的有限维子空间，证明：向量??V1是向量?在子空间V1上的正射影的充分必要条件是，对任意的向量??V1有???????.证明：必要性.设??V1是向量?在V1上的正射影 则?????,??V1?,??????,????V1??????V1 于是，???V1，有??????? 充分性.设???1??,?1?V1,??V1?,那么?1是?的正射影 由必要性的证明知，??????? 另方面，由充分性假设又有，???????1 所以???????1 因为?????1???????1????? ????,????????1?????,??1?????? ???1??,?1??????,?? ???1??,?1????????1,???1? 由于????,?????????1,???1? 因此??1??,?1????0 从而?1??.即是说，?就是?在V1上的正射影
'