1. 1. 液流流经薄壁小孔的流量
液体流经薄壁小孔的情况如图2-23所示。液流在小孔上游大约d/2处开始加速并从四周流向小孔。由于流线不能突然转折到与管轴线平行，在液体惯性的作用下，外层流线逐渐向管轴方向收缩，逐渐过渡到与管轴线方向平行，从而形成收缩截面Ac。对于圆孔，约在小孔下游d/2处完成收缩。通常把最小收缩面积Ac与孔口截面积之比值称为收缩系数Cc，即Cc＝Ac/A。其中A为小孔的通流截面积。? 液流收缩的程度取决于Re、孔口及边缘形状、孔口离管道内壁的距离等因素。对于圆形小孔，当管道直径D与小孔直径d之比D/d≥7时，流速的收缩作用不受管壁的影响，称为完全收缩。反之，管壁对收缩程度有影响时，则称为不完全收缩。
对于图2-23所示的通过薄壁小孔的液流，取截面1—1和2—2为计算截面，设截面1—1处的压力和平均速度分别为p1、υ1，截面2—2处的压力和平均速度分别为p2、υ2。由于选轴线为参考基准，则Z1=Z2，列伯努利方程为：
由于小孔前管道的通流截面积A1比小孔的通流截面积A大得多，故υ1υ2, υ1可忽略不计。此外，式中的hw部分主要是局部压力损失，由于2—2通流截面取在最小收缩截面处，所以，它只有管道突然收缩而引起的压力损失。
将上式代入伯努利方程中，并令Δp＝p1- p2，求得液体流经薄壁小孔的平均速度υ2为： (2-60)
令Cυ=1/(α2+δ)，为小孔流速系数，由于υ2是最小收缩截面上的平均速度，设最小通流截面的面积为Ac，与小孔通流截面积A的比值为Ac/A=Cc，则流经小孔的流量为： = = (2-61)
式中：流量系数Cd＝CcCυ；Δp为小孔前后压差。
流量系数一般由实验确定。在液流完全收缩的情况下，当Re≤105时，Cd可按下式计算：
当Re＞105时，Cd可视为常数，取值为Cd＝0.60～0.62。 当液流为不完全收缩时，其流量系数为Cd≈0.7～0.8。
2.液流流经细长孔和短孔的流量 液体流经细长小孔时，一般都是层流状态，所以可直接应用前面已导出的直管流量公式(2-51)来计算，当孔口直径为d，截面积为A＝πd2/4时，可写成：
(2-62)
比较式(2-61)和式(2-62)不难发现，通过孔口的流量与孔口的面积、孔口前后的压力差以及孔口形式决定的特性系数有关，由式(2-61)可知，通过薄壁小孔的流量与油液的粘度无关，因此流量受油温变化的影响较小，但流量与孔口前后的压力差呈非线性关系；由式(2-62)可知，油液流经细长小孔的流量与小孔前后的压差Δp的一次方呈正比，同时由于公式中也包含油液的粘度μ，因此流量受油温变化的影响较大。为了分析问题的方便起见，将式(2-61)和式(2-62)一并用下式表示，即：
(2-63) 式中：m为指数，当孔口为薄壁小孔时，m＝0.5，当孔口为细长孔时，m＝1；K为孔口的通流系数，当孔口为薄壁孔时，K＝Cd(2/ρ)0.5；当孔口为细长孔时，K＝d2/32μl。j
液流流经短孔的流量仍可用薄壁小孔的流量计算式：q＝CdA (2Δp/ρ) m，但其中的流量系数可在有关液压设计手册中查得。由于短孔介于细长孔和薄壁孔之间，故有：q=CdA(2Δp/ρ) m，0.5 液压元件内各零件间有相对运动，必须要有适当间隙。间隙过大，会造成泄漏；间隙过小，会使零件卡死。如图2-24所示的泄漏，泄露是由压差和间隙造成的。内泄漏的损失转换为热能，使油温升高，外泄漏污染环境，两者均影响系统的性能与效率，因此，研究液体流经间隙的泄漏量、压差与间隙量之间的关系，对提高元件性能及保证系统正常工作是必要的。间隙中的流动一般为层流，一种是压差造成的流动称压差流动，另一种是相对运动造成的流动称剪切流动，还有一种是在压差与剪切同时作用下的流动。 图2-24内泄漏与外泄漏 1. 1. 平行平板的间隙流动 液体流经平行平板间隙的一般情况是既受压差Δp=p1-p2 的作用，同时又受到平行平板间相对运动的作用。如图2-25所示。设平板长为l，宽为b(图中未画出)，两平行平板间的间隙为h，且l>>h，b>>h，液体不可压缩，质量力忽略不计，粘度不变。在液体中取一个微元体dx dy(宽度方向取单位长)，作用在它与液流相垂直的两个表面上的压力为p和p+dp，作用在它与液流相平行的上下两个表面上的切应力为τ和τ+dτ，因此它的受力平衡方程为 图2-25平行平板间隙流动 经过整理并将式(2-6)代入后有： 对上式二次积分可得： + (2-64) 式中：C1、C2为积分常数。 下面分两种情况进行讨论。 (1)固定平行平板间隙流动(压差流动)且 0。 上、下两平板均固定不动，液体在间隙两端的压差的作用下而在间隙中流动，称为压差流动。 将边界条件：当y＝0时，u＝0；当y＝h时，u＝0，代入式(2-64)，得： C1＝-h dp /2 dxμ、C2＝0 所以 于是有 = 因为液流做层流流动时p只是x的线性函数，即： 将此关系式代入上述流量公式，得： (2-65) 从以上两式可以看出，在间隙中的速度分布规律呈抛物线状，通过间隙的流量与间隙的三次方成正比，因此必须严格控制间隙量，以减小泄漏。 (2)两平行平板有相对运动时的间隙流动。 ①两平行平板有相对运动，速度为u0，但无压差，这种流动称为纯剪切流动。将边界条件：当y＝0时，u＝0；当y＝h时，u＝u0，且dp/dx=0，代入式(2-64)得： 、 则 (2-66) 由式(2-64)可知，速度沿y方向呈线性分布。其流量为： ? (2-67) ②两平行平板既有相对运动，两端又存在压差时的流动，这是一种普遍情况，其速度和流量是以上两种情况的线性叠加，即： (2-68) 同样 得; (2-69) 式(2-68)和式(2-69)中正负号的确定：当长平板相对于短平板的运动方向和压差流动方向一致时，取“+”号；反之取“-”号。此外，如果将泄漏所造成的功率损失写成： (2-70) 由上式得出结论：间隙h越小，泄漏功率损失也越小。但是h的减小会使液压元件中的摩擦功率损失增大，因而间隙h有一个使这两种功率损失之和达到最小的最佳值，并不是越小越好。 图2-26同心环形间隙间的液流 图2-27偏心环状间隙中的液流 2.圆柱环形间隙流动 (1)同心环形间隙在压差作用下的流动。图2-26所示为同心环形间隙流动，当h/r<<1时，可以将环形间隙间的流动近似地看作是平行平板间隙间的流动，只要将b＝πd代入式(2-69)，就可得到这种情况下的流动，即： (2-71) 该式中“+”号和“-”号的确定同式(2-69)。 (2)偏心环形间隙在压差作用下的流动。液压元件中经常出现偏心环状的情况，例如活塞与油缸不同心时就形成了偏向环状间隙。图2-27表示了偏心环状间隙的简图。孔半径为R，其圆心为O，轴半径为r，其圆心为O1，偏心距e，设半径在任一角度α时，两圆柱表面间隙为h，从图可看出： 因为β很小，cosβ→1， 所以 + (2-72) 在dα一个很小的角度范围内，通过间隙的流量dq可应用平面间隙流量公式(2-64)计算，即： 因为b相当于Rdα，于是得： 并从0积分到2π得到通过整个偏心环形间隙的流量q为： 图2-28平行圆盘间隙 令R-r＝h0(同心时半径间隙量)，e/h0＝ε(相对偏心率)，则有： 令d＝2R，于是： (2-73) 由式(2-73)可以看出，当ε＝0即为同心环状间隙。当ε＝1，即最大偏心e＝h0时，其流量为同心时流量的2.5倍，这说明偏心对泄漏量的影响。所以对液压元件的同心度应有适当要求。 (3)内外圆柱表面有相对运动且又存在压差的流动由式(2-70)和式(2-73)可得到： (2-74) 式中等号右边第一项为压差流动的流量，第二项为纯剪切流动的泄漏，当长圆柱表面相对短圆柱表面的运动方向与压差流动方向一致时取“+”号，反之取“-”号，当内外圆柱同心(ε＝0)时，即为式(2-70)。 三、流经平行圆盘间隙的径向流动 如图2-28所示，两平行圆盘A和B之间的间隙为h，液流由圆盘中心孔流入，在压差的作用下向四周径向流出。由于间隙很小，液流呈层流，因为流动是径向的，所以对称于中心轴线。柱塞泵的滑履与斜盘之间以及某些端面推力静压轴承均属这种情况。 在半径r处取宽度为dr的液层，将液层展开，可近似看作平行平板间的间隙流动，在r处的流速为ur，因此有 则 所以 对上式积分可得： 由边界条件：r＝r2时，p＝p2得： 代入上式，得压力沿径向的分布规律： (2-75) 当r＝r1时，p＝p1，则： 图2-29圆锥状环行间隙的流动 由上式可得流量为： (2-76) 作用于平面上的总液压力为： 四、圆锥状环形间隙流动 图2-29所示为圆锥状环形间隙的流动。若将这一间隙展开成平面，则是一个扇形，相当于平行圆盘间隙的一部分，所以可根据平行圆盘间隙流动的流量公 式，导出这种流动的流量公式为： (2-77) 第六节 液压冲击及空穴现象 一、液压冲击现象? 1.液压冲击 在液压系统中，当极快地换向或关闭液压回路时，致使液流速度急速地改变(变向或停止)，由于流动液体的惯性或运动部件的惯性，会使系统内的压力发生突然升高或降低， 这种现象 称为液压冲击(水力学中称为水锤现象)。在研究液压冲击时，必须把液体当作弹性物体，同时还须考虑管壁的弹性。 首先讨论一下水锤现象的发展过程。如图2-30所示，为某液压传动油路的一部分。管路A的入口端装有蓄能器，出口端装有快速电磁换向阀。当换向阀打开时，管中的流速为v0压力为p0，现在来研究当阀门突然关闭时，阀门前及管中压力变化的规律。 当阀门突然关闭时，如果认为液体是不可压缩的，则管中整个液体将如同刚体一样同时静止下来。但实验证明并非如此，事实上只有紧邻着阀门的一层厚度为Δl的液体于Δt时间内首先停止流动。之后，液体被压缩，压力增高Δp，如图2-31所示。同时管壁亦发生膨胀。在下一个无限小时间Δt段后，紧邻着的第二层液体层又停止下来，其厚度亦为Δl，也受压缩，同时这段管子也膨胀了些。依此类推，第三层、第四层液体逐层停止下来，并产生增压。这样就形成了一个高压区和低压区分界面(称为增压波面)，它以速度c从阀门处开始向蓄能器方向传播。我们称c为水锤波的传播速度，它实际上等于液体中的声速。 图2-30液压冲击的液压传动油路分析 图2-31阀门突然关闭时的受力分析 1—气体蓄能器2—电磁换向阀 在阀门关闭t1=l/c时刻后，如图2-32所示，水锤压力波面到达管路入口处。这时，在管长l中全部液体都已依次停止了流动，而且液体处在压缩状态下。这时来自管内方面的压力较高，而在蓄能器内的压力较低。显然这种状态是不能平衡的，可见管中紧邻入口处第一层的液体将会以速度v0冲向蓄能器中。与此同时，第一层液体层结束了受压状态，水锤压力Δp消失，恢复到正常情况下的压力，管壁也恢复了原状。这样，管中的液体高压区和低压区的分界面即减压波面，将以速度c自蓄能器向阀门方向传播。 在阀门关闭t2=2l/c时刻后，全管长l内的液体压力和体积都已恢复了原状。 这时要特别注意，当在t2=2l/c的时刻末，紧邻阀门的液体由于惯性作用，仍然企图以速度v0向蓄能器方向继续流动。就好像受压的弹簧，当外力取消后，弹簧会伸长得比原来还要长，因而处于受拉状态。这样就使得紧邻阀门的第一层液体开始受到“拉松”，因而使压力突然降低Δp。同样第二层第三层依次放松，这就形成了减压波面，仍以速度c向蓄能器方向传去。当阀门关闭t3=3l/c时刻后，减压波面到达水管入口处，全管长的液体处于低压而且是静止状态。这时蓄能器中的压力高于管中压力，当然不能保持平衡。在这一压力差的作用下，液体必然由蓄能器流向管路中去，使紧邻管路入口的第一层液体层首先恢复到原来正常情况下的速度和压力。这种情况依次一层一层地以速度c由蓄能器向阀门方向传播，直到经过t4=4l/c时传到阀门处。这时管路内的液体完全恢复到原来的正常情况，液流仍以速度v0由蓄能器流向阀门。这种情况和阀门未关闭之前完全相同。因为现在阀门仍在关闭状态，故此后将重复上述四个过程。如此周而复始地传播下去，如果不是由于液压阻力和管壁变形消耗了一部分能量，这种情况将会永远继续下去。 图2-32表示在紧邻阀门前的压力随时间变化的图形。由图看出，该处的压力每经过2l/c 时间段，互相变换一次。 图2-32是理想情况。实际上由于液压阻力及管壁变形需要消耗一定的能量，因此它是一个逐渐衰减的复杂曲线，如图2-33所示。 图2-32在理想情况下冲击压力的变化规律 图2-33实际情况下冲击压力的变化规律 2. 2. 液压冲击压力 下面定量分析阀门突然关闭时所产生的冲击压力的计算。见图2-31，设当阀门突然关闭时，在某一瞬间Δt时间内，与阀紧邻的一段液体mn先停止下来，其厚度为Δl，体积为AΔl，