图7 问题一（2）理论分析节能最优运行方案图
目标：minE?Emin1?Emin2；E为总能耗，Emin1、Emin2分别为A6-A7、A7-A8两个阶段的耗能。 约束条件：
?t1?[tmin1,tmax1];t2?[tmin2,tmax2];?t?t?220s；?12?V(t)?Vmax(t)；?n? ??Li1?L总1?1354m； ?i?1?n??Li2?L总2?1280m；?i?1?a(t)?amax；?具体算法主要程序见附录XXX，全部程序见附件XXX。由于数据较大，约束条件增多，实际运行中精确到秒S就可以了，特将本算法的迭代步长调整为1s，。算法伪代码如下所示： 算法伪代码（二） A6-A8运行能耗最低方案的算法（主要） 1. for t1=100; t1?120; t1++ do 2. t2=220-t1;
3. 计算在t1情况下，A6-A7站间最优节能方案运行的最小耗能Emin1； 4. 计算在t2情况下，A7-A8站间最优节能方案运行的最小耗能Emin2； 5. if Emin<（Emin1+Emin2） do 6. Emi=nEmin1+Emin2; 7. end if 8. end for
9. Emin即为最低的能耗，此时的t1、t2值即为对应在两站的运行时间
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3.2.3 问题（一）（2）算法结果分析
根据上述方法建模与算法，得到问题一（2）中的距离速度曲线如图8所示。图中已将两个运行过程的牵引、惰行、制动三个阶段的情况位置等信息清晰标注。根据图8可以得出如下分析结果：
图8 问题一（2）迭代结果图
结果分析：1.A6-A7站间运行时间和A7—A8站间运行时间大致相同，均为110s左右，运行曲线也大致相同，这就证明上文中的分析是正确的。 2.列车整个运行情况：从A6站以最大牵引加速出发，到19.8s的时候加速到63.44km/h，此时开始惰行至97.9s的时候开始以最大制动减速，到109.9s时候到达A7站。停站45s后，再次用18.7s以最大牵引加速到速度62.41km/h，开始惰行到速度至36.84km/h时以最大制动减速至0。
3.能耗方面：A6—A7站间运行的能耗为3.4535?107J，A7—A8站间运行的能耗为3.0335?107J，整个A6—A8过程所花的能耗为6.487?107J。 以上结果主要数据以统计至表3中。
表3 A6-A7最节能方案结果
A6-A7 A7-A8 A6-A8
运行时间/s 109.9s 110s 219.9s 运行距离/m 1354 1280 2634 惰行点位置 （公里标） 13400m 12079m
制动点位置（公里标） 12327m 10960m 能耗/(J)
3.4535?107 3.0335?107 6.487?107 3.3 问题（二）分析建模与结果 3.3.1 问题（二）（1）分析
问题二（1）加入了能量的转换，列车由单列车情况转换为多列车，且需要跑完全程。为了更好的节能，前一列车的制动时间内，后面运行的列车需要尽可能的运行在牵引或者巡航阶段。不失不一般性，在对A1—A14全程路程进行研究分析中发现13段路程中，有10站的限速与路况等情况是类似的，本文把这类站规定为“一般站”来进行统一研究分析，一般站的限速情况约为前120m的限速为55km/h，后面的限速为80km/h，如图9(a)所示。特殊的站间“A5—
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A6”、“A11—A12”、“A13—A14”三段路程单独进行分析，限速情况如图9(b)、(c)、(d)所示。
图9(a) 一般站间的限速情况图 图9(b) A5—A6限速情况图
图9(c) A11—A12限速情况 图9(d) A13—A14限速情况
图9线路全程限速情况分析
一般站间的理论运行曲线在题（一）中已经给出，其中A11—A12里面的7m就不需要考虑，因为7m不可能从55km/h加速到80km/h。A5—A6与A13—A14中的节能运行曲线仿真出来如图10、11所示。
图10 A5—A6站间最节能的运行距离速度曲线
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图11 A13—A14站间最节能的运行距离速度曲线
3.3.2 问题（二）（1）建模与算法
将题中的条件与所求总结模型： 目标函数：minE??E??E1ii?1j?21001002j;
?Ei?11001i为列车正常行驶的耗能，
?Ej?21002j为后面99
辆列车得到前车制动时转换的能量。
；
约束条件为：
；
?100??Hi?63900;?i?1?100??ti?2086;?i?1； ?D??DD?;min,max??H??Hmin,Hmax?;??V?Vlimit?min(Vline2LBe);?a?a;max?后车制动-前车牵引模型：图12阐述了再生制动能产生和利用的匹配原理。再生制动能的利用率与列车运行的关系为：后车制动时前车恰好牵引，前车制动时后车恰好牵引。根据列车运行的时间关系可以得到以下几个基本公式：
Tc?min(t4,t7)?max(t3,t8)Tz1?t4?t3Tf?t5?t8T?t5?t4Td2?t10?t92Tac?t9?t82s
由上组公式可得
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2?Td2?Tac?t10?t8 ?21?Ts?Tz?t5?t3上式为后车制动-前车牵引模型。
图2 后车制动—前车牵引分析
从上面的分析可知，如果可以同时满足t8?t3，t7?t7，t5?t10，t6?t11则可以视为再生制动能充分利用的理想情况。取这两个模型的边界情况，令模型一种后车制动时刻和前车牵引时刻相同即t8=t3，模型二中前车制动时刻和后车牵引时刻相同即t5=t10, 则有t5-t3=t10-t8。
2 结论：当且仅当Tf?Tz1?Ts2?Td2?Tac时再生制动能的利用率最大：本文中
只考虑最理想的状态。
针对上述理论模型的复杂度，选择经典的博弈论来进行节能寻优。博弈论的基本要素是：（1）局中人；（2）策略集；（3）收益函数。
局中人的数量为100个，各局中人为：1车，2车，…，100车。
策略集为：Cj??c1,c2,?,cn?，该策略集为某一运行区间的策略集，其中策略集取决于时刻表约束和该运行区间的具体线路条件，故这一策略集是这100辆车在某一运行区间共有的策略集，其中i=1,2,…,100.同时每一个cj对应着一条列车区间运行曲线lj, 其中j=1,2,…,n,对应于Cj的运行曲线集合为：Lj={l1,l2,…,ln}。
收益函数：Eal=E1+E2+…+E100, Eal 为全线总能耗，Ei为某一车的总能耗，i=1,2,…,100.
收益函数1：Val=V1+V2+…+V100, Val=minEal,Vi=minEi 。Bal=B1+B2+…+B100, Bal为全线列车总共利用的再生制动能，Bi为某一车总共利用的再生制动能，i=1,2,…,100.
收益函数2：Ual=U1+U2+…+U100, Ual=maxBal, Ui=maxBi。注：Bri≥Bi, Bri为
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