则?
15??sin(x?)?1， ∴?的取值范围是[?1,2]. 23619．【解析】∵|PQ|?|OQ?OP|?|(1?t)OB?tOA| ∴|PQ|?(1?t)2OB?2t(1?t)OB?OA?t2OA ????????????????????????????2????????????2?(1?t)2?1?2t(1?t)?2cos??4t2 22?1?2t?t2?4tcos??4t2cos??4t2?5t?4tcos??(2?4cos?)t?1
?(5?4cos?)t2?(2?4cos?)t?1 1?2cos?11?2??，即??cos??0，又∵??[0,?]， ∴???.
5?4cos?522320．【解析】（Ⅰ）∵AD?平面PDC，∴AD?PD,AD?DC， 如图，在梯形ABCD中，过点B作BH?CD于H，则BH?CH?1，∴?BCH?45?， ∵AD?AB?1， ∴?ADB?45?， ∴?BDC?45?， ∴?DBC?90?. ∴BC?BD，
∵PD?AD,PD?DC，AD?DC?D， ∴PD?平面ABCD， ∴PD?BC， 又∵BC?BD，∴BC?平面PBD，
又∵BC?平面PBC， ∴平面PBC?平面PBD. （Ⅱ）法一：过点Q作QM∥BC交PB于点M，过点M作MN?BD于点N，连QN， 由（Ⅰ）可知BC?平面PDB，∴QM?平面PDB， ∴QM?BD，∵QM?MN?M， ∴BD?平面MNQ，∴BD?QN，
∴?QNM是二面角Q?BD?P的平面角，
????????PQ???， ∴?QNM?60，∵PQ??PC， ∴PCPQQMPM????， ∵QM∥BC， ∴
PCBCPB∴QM??BC，由（Ⅰ）知BC?2，∴QM?2?， 又∵PD?1，MN∥PD， MNBMBMPB?PMPM???1??1??， ∴， ∴MN?PDPBPBPBPB2?QM∵tan?MNQ?，∴?3???3?6. MN1??法二：以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系(如图)， 则P(0,0,1)，C(0,2,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，令Q(x0,y0,z0)，
∴0?t对?高三数学（理科）第6页共9页
????????则PQ?(x0,y0,z0?1)，PC?(0,2,?1)， ????????∵PQ??PC，∴(x0,y0,z0?1)??(0,2,?1)， ∴Q?(0,2?,1??)，∵BC?平面PBD， ???∴n?(?1,1,0)是平面PBD的一个法向量，设平面QBD的法向量为m?(x,y,z)，则???????x??y??x?y?0?m?DB?0? ，即 ? 即????????2?，
2?y?(1??)z?0z?y????m?DQ?0??1???2?)， 不妨令y?1，得m?(?1,1,??1???m?n???21??， ∵二面角Q?BD?P为60，∴cos(m,n)?????2?22mn2?2?()??1解得??3?6， ∵Q在棱PC上，∴0????，∴????6．
c2222?，a?b?c，可得b?c,a?2c. a21123∵椭圆过点A(?,)， ∴2?2?1， 解得c?1， ∴a?2. 2cc22x2?y2?1. ∴椭圆C的标准方程为2（Ⅱ）①当直线MN的斜率不存在时，直线PQ的斜率为0，
21．【解析】（Ⅰ）由已知，e?易得|MN|?4，|PQ|?22，S?42. ②当直线MN的斜率存在时，设其方程为y?k(x?1)(k?0)，
?y?k(x?1)2222得kx?(2k?4)x?k?0， 2?y?4x4设M(x1,y1),N(x2,y2)，则x1?x2?2?2,x1?x2?1，
k4422∴|MN|?1?k(2?2)?4?2?4，
kk1∵PQ?MN， ∴直线PQ的方程为y??(x?1)，
k1?y??(x?1)??k222联立?2得，(k?2)x?4x?2?2k?0，
?x?y2?1??2联立?高三数学（理科）第7页共9页
42?2k2,x3?x4?设P(x3,y3),Q(x4,y4)， x3?x4?， 2?k22?k21422?2k222(1?k2)∴|PQ|?1?2(， )?4??k2?k22?k22?k2142(1?k2)2∴四边形PMQN的面积S?|MN||PQ|?，
2k2(2?k2)42t242t21令t?1?k(t?1)， ∴S??2?42(1?2)?42. (t?1)(t?1)t?1t?12综上，S?42， 即四边形PMQN面积的最小值为42. 1?n，∴y?g(x)在x?1处的切线斜率
(x?1)21?n11?nk??1??1，∴n?5. ，由f?(x)?，∴f?(1)?1， ∴
4x4（Ⅱ）易知函数y?f(x)?g(x)的定义域为(0,??)，
12x?2?m(1?n)?1m(1?n)x??2?m(1?n)?x?1x，?????又y?f(x)?g(x)?? 222x(x?1)x(x?1)(x?1)1由题意，得x?2?m(1?n)?的最小值为负， ∴m(1?n)?4
x2（注：结合函数y?x??2?m(1?n)?x?1图象同样可以得到），
22．【解析】（Ⅰ）当m?1时，g?(x)?[m?(1?n)]2?m(1?n)?4， ∴m?(1?n)?4， ∴m?n?3. ∴
42axax（Ⅲ）令h(x)=f()?f(e)?f()?ax?ln2a?ax?lnx?lnx?ln2a，
x2a1其中x?0,a?0，则h?(x)?a?ln2a?alnx?a?，
x1a1ax?1?0 设k(x)?a?ln2a?alnx?a?，k?(x)???2??2xxxx ∴k(x)在(0,??)单调递减，k(x)?0在区间(0,??)必存在实根，不妨设k(x0)?0
11即k(x0)?a?ln2a?alnx0?a??0，可得lnx0??ln2a?1（*）
x0ax0h(x)在区间(0,x0)上单调递增，在(x0,??)上单调递减， ∴h(x)max?h(x0)，
1h(x0)?(ax0?1)?ln2a?(ax0?1)?lnx0，代入（*）式得h(x0)?ax0??2
ax01根据题意h(x0)?ax0??2?0恒成立.
ax0高三数学（理科）第8页共9页
11时,等号成立. ?2,当且仅当ax0?ax0ax01111?2,ax0?1，∴x0?.代入（*）得ln?ln2a,即?2a,a?2. ∴ax0?ax0aaa2又∵ax0?
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