高考数学立体几何的典型解法解析
高考数学立体几何的典型解法解析
解题技巧：立体几何中几类典型问题的向量解法-新人教 空间向量的引入为求立体几何的空间角和距离问题、证线面平行与垂直以及解决立体几何的探索性试题提供了简便、快速的解法。它的实用性是其它方法无法比拟的，因此应加强运用向量方法解决几何问题的意识，提高使用向量的熟练程度和自觉性，注意培养向量的代数运算推理能力，掌握向量的基本知识和技能，充分利用向量知识解决图形中的角和距离、平行与垂直问题。
一、 利用向量知识求点到点，点到线，点到面，线到线，线到面，面到面的距离
（1）求点到平面的距离除了根据定义和等积变换外还可运用平面的法向量求得，方法是：求出平面的一个法向量的坐标，再求出已知点P与平面内任一点M构成的向量MP的坐标，那么P到平面的距离
d?MP?cos?n,MP??n?MPn
（2）求两点P,Q之间距离，可转化求向量PQ的模。
（3）求点P到直线AB的距离，可在AB上取一点Q，令
AQ??Q,BP?Q或ABPQ的最小值求得参数?，以确定Q的位置，则
PQ为点P到直线AB的距离。还可以在AB上任取一点Q先求
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cos?PQ,AB?，再转化为sin?PQ,AB?，则PQsin?PQ,AB?为点P到
直线AB的距离。
(4)求两条异面直线l1,l2之间距离，可设与公垂线段AB平行的向量
n，C,D分别是l1,l2上的任意两点，则l1,l2之间距离AB?CD?nn
【例题】
例1：设A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(?5,?4,8)，求点D到平面ABC的距离
例2：如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若
CM?BN?a(0?a?2)。
（1）求MN的长；（Ⅱ）当a为何值时，MN的长最小；
（2）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角?的大小
z C D M B y E N A(O) F x 高考数学立体几何的典型解法解析
例3：正方体ABCD?A1BC求异面直线AC11D1的棱长为1，11与AB1间的距离.
x A z D1M C1B1N A1D C B y
例4：如图，在长方体ABCD?A1BC11D1中，AB?4,BC?3,CC1?2,求平面
A1BC1与平面ACD1的距离。
D1 A1 D z C1 B1 y C
x A B
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AB是平面?的一条斜线段，点评：若n是平面?的法向量，且B??，
则点A到平面?的距离d?AB?nn，平行平面之间的距离转化为点到平
面的距离，变为斜线在法向量上的射影。
二、利用向量知识求线线角，线面角，二面角的大小。
（1）设l1,l2是两条异面直线，A,B是l1上的任意两点，C,D是直线
l2上的任意两点，则l1,l2所成的角为arccosAB?CDAB?CD
（2）设AB是平面?的斜线，且B??,BC是斜线AB在平面?内的射影，则斜线AB与平面?所成的角为arccosAB?BCAB?BC。设n是平面?的
法向量，AB是平面?的一条斜线，则AB与平面?所成的角为
?AB?nAB?n。 ?arccos，或者arcsin2AB?nAB?n（3）设n1,n2是二面角??l??的面?,?的法向量，则
?n1,n2??arccosn1?n2n1?n2就是二面角的平面角或补角的大小。
【例题】
例5：在棱长为a的正方体ABCD?A'B'C'D'中，EF分别是BC,A'D'的中点，
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'（1）求直线AC与DE所成角；
z （2）求直线AD与平面BEDF所成
'A' B' F D' 的角，
（3）求平面B'EDF与平面ABCD所成的角
x
C' A B E G D C y PD?底面ABCD，例6：如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形，
AD=PD，E，F分别CD、PB的中点. （1）求证：EF?平面PAB；
z （2）设AB=2BC，求AC与平面AEF所成角的大小.
例7：如图，PA?平面ABC，
AC?BC,PA?AC?1,BC?2，求二面角x A
P x C F E A y D B P z
E D C B y