课时作业(二十二)
一、选择题
1．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于( )
A．AC C．A1D
B．BD D．A1A
解析：CE为等腰三角形CB1D1的中线，∴CE⊥B1D1 又BD∥B1D1，∴CE⊥BD. 答案：B
2．两条不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2
＝(－2,0,2)，则l1与l2的位置关系是( )
A．平行 B．相交 C．垂直 D．不确定 解析：由于v1＝－2v2，∴l1∥l2. 答案：A
3．两向量v1＝(2,0,3)，v2＝(－3,0,2)，则以向量v1，v2为方向向量的直线l1，l2的夹角为( )
A．90° B．45° C．60° D．30°
v1·v2
解析：cos〈v1，v2〉＝|v||v|＝0，得以向量v1，v2为方向向量
1
2
的直线l1，l2的夹角为90°.故选A.
答案：A
4．已知A、B、C三点的坐标分别为A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，→→
λ)，若AB⊥AC，则λ等于( )
A．28 B．－28 C．14 D．－14
→→
解析：AB＝(－2，－6，－2)，AC＝(－1,6，λ－3)， →→→→∵AB⊥AC，∴AB·AC＝0即2－36－2(λ－3)＝0， ∴λ＝－14，故选D. 答案：D
5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于( )
A．45° C．90°
B．60° D．30°
解析：以DA、DC、DD1为x、y、z轴建立空间直角坐标系． 1??
?设棱长为1，则E1，0，2?， ??
1?1????1?
?????F1，2，0，G1，1，2，H2，1，1?， ??????→?11?→?11?∴EF＝?0，2，－2?，GH＝?－2，0，2?，
?
?
?
?
1－4→→1
cos〈EF，GH〉＝＝－2.故选B.
222×2答案：B
6．已知向量v1，v2，v3分别是空间三条不同直线l1，l2，l3的方向向量，则下列命题中正确的是( )
A．l1⊥l2，l2⊥l3?v1＝λv3(λ∈R) B．l1⊥l2，l2∥l3?v1＝λv3(λ∈R)
C．l1，l2，l3平行于同一个平面??λ，μ∈R，使得v1＝λv2＋μv3 D．l1，l2，l3不共面??λ，μ∈R，使得v1＝λv2＋μv3
解析：l1⊥l2，l2⊥l3D?/l1∥l3，故A错．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3，故B错；若l1，l2，l3不共面，则v1≠λv2＋μv3，故D错．
答案：C 二、填空题
7．已知两条异面直线a，b的夹角为60°，a，b分别为直线a，b的方向向量，则〈a，b〉＝________.
解析：a，b可能方向相同，也可能方向相反，∴〈a，b〉＝60°或120°.
答案：60°或120°
8．如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中 ，AA1＝2AB, 则异面直
线A1B与AD1所成角的余弦值为________．
解析：以AB、AD、AA1分别为x、y、z轴建立直角坐标系， 设AB＝1，∴AA1＝2，
→→
∴A1B＝(1,0，－2)，AD1＝(0,1,2)， →→4
∴|cos〈A1B，AD1〉|＝5. 4答案：5
9．已知空间三点A(0,0,1)，B(－1,1,1)，C(1,2，－3)，若直线AB上一点M，满足CM⊥AB，则点M的坐标为________．
解析：设M(x，y，z)．则由已知得， →→
AM＝λAB＝λ(－1,1,0)＝(－λ，λ，0)． →
又AM＝(x，y，z－1)，∴x＝－λ，y＝λ，z＝1. →→→又CM·AB＝0，CM＝(－λ－1，λ－2,4)， ∴(－λ－1，λ－2,4)·(－1,1,0)＝0， 1∴(λ＋1)＋(λ－2)＝0，λ＝2.
?11??∴M点坐标为－2，2，1?. ???11?
?－，，1答案：22? ??
三、解答题
10．已知正方体ABCD－A′B′C′D′中，点M、N分别是棱BB′、对角线A′C的中点，求证：MN⊥BB′，MN⊥A′C.
证明：
不妨设已知正方体的棱长为1.
以A为坐标原点O建立空间直角坐标系，如图所示，由已知条1???111?
??件，可求得M1，0，2、B(1,0,0)、C(1,1,0)，A′(0,0,1)、N?2，2，2?、????B′(1,0,1)，
→?11?→→
MN＝?－2，2，0?，A′C＝(1,1，－1)，BB′＝(0,0,1)．因为
?
?
→→?11??1?1MN·A′C＝?－2，2，0?·(1,1，－1)＝?－2?×1＋2×1＋0×(－1)＝0，
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?
?
→→→?11??1?1MN·BB′＝?－2，2，0?·(0,0,1)＝?－2?×0＋2×0＋0×1＝0，所以MN
?
?
?
?
→→→
⊥A′C，MN⊥BB′，所以MN⊥A′C，MN⊥BB′.
11.
如图所示，四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面