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习题5?1
1. 利用定积分定义计算由抛物线y=x2?1, 两直线x=a、x=b(b>a)及横轴所围成的图形的面积.
解 第一步: 在区间[a, b]内插入n?1个分点xi?a?b?ai(i?1, 2, ?????, n?1), 把区间[a, b]分nb?a(i?1, 2, ?????, n). nb?ai, 作和 n成n个长度相等的小区间, 各个小区间的长度为: ?xi? 第二步: 在第i个小区间[xi?1, xi] (i?1, 2, ?????, n)上取右端点?i?xi?a? Sn??f(?i)?xi??[(a?i?1i?1nnb?a2b?ai)?1]? nnb?an22a(b?a)(b?a)22 ??[a?ni?2i?1]
ni?1n(b?a)2a(b?a)n(n?1)(b?a)2n(n?1)(2n?1)2[na?????n] ?2nn26na(b?a)(n?1)(b?a)2(n?1)(2n?1)??1]. ?(b?a)[a?n6n22 第三步: 令??max{?x1, ?x2, ????? , ?xn}? S??af(x)dx?lim?f(?i)?xi
??0i?1bnb?a, 取极限得所求面积 na(b?a)(n?1)(b?a)2(n?1)(2n?1)??1] ?lim(b?a)[a?n??n6n2211 ?(b?a)[a2?a(b?a)?(b?a)2?1]?(b3?a3)?b?a.
33 2. 利用定积分定义计算下列积分: (1)?axdx(a bnb1b?ab?a(i?1, 2, ?????, n). 在第i 个小区i(i?1, 2, ?????, n?1), 则?xi?nnb?ai (i?1, 2, ?????, n). 于是 nn?axdx?lim??i?xi?lim?(a?n??i?1n??i?12n??b?ab?ai)? nn1]?(b2?a2). 2 ?(b?a)lim[a(b?a)?(b?a)2n(n?1)2n22|28 i1 (2)取分点为xi?(i?1, 2, ?????, n?1), 则?xi?(i?1, 2, ?????, n). 在第i 个小区间上取右端点 nn?i?xi? (i?1, 2, ?????, n). 于是 in?in1xnedx?lime0n??i?1?n2111nn?lim(e?e? ? ? ? ?en) nn??n1 ?lim?n??n11ne[1?(en)n]11?en?limn??1en[1?e]1n(1?en?e?1. ) 3. 利用定积分的几何意义??说明下列等式: (1)?02xdx?1; (2)?1?x2dx?0?11?4; ???2 (3)???sinxdx?0; (4)?2?cosxdx?2?02cosxdx. 解 (1)?02xdx表示由直线y?2x、x轴及直线x?1所围成的面积, 显然面积为1. (2)?01?x2dx表示由曲线y?1?x2、x轴及y轴所围成的四分之一圆的面积, 即圆x2?y2?1的面积的1: 4 11?011?1?x2dx????12?. 44 (3)由于y?sin x为奇函数, 在关于原点的对称区间[??, ?]上与x轴所夹的面积的代数和为 零, 即 (4) ???sinxdx?0. ?2???2?cosxdx表示由曲线y?cos x与x轴上[?2, 2]一段所围成的图形的面积. 因为cos x ?0??为偶函数, 所以此图形关于y轴对称. 因此图形面积的一半为?2cosxdx, 即 ?? ??2?cosxdx?2?02cosxdx. 2 4. 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力, 已知闸门上水的压强p(单位面积上的压力大小)是水深h的函数, 且有p?9?8h (kN/m2). 若闸门高H?3m, 宽L?2m, 求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P. 3|28 解 建立坐标系如图. 用分点xi?小区间的长为?xi?Hi(i?1, 2, ?????, n?1)将区间[0, H]分为n分个小区间, 各nH(i?1, 2, ?????, n). n 在第i个小区间[xi?1, xi]上, 闸门相应部分所受的水压力近似为 ?Pi?9.8x il??x i . 闸门所受的水压力为 nnn(n?1)HH?4.8L?H2. P?lim?9.8xi?L??xi?9.8Llim?i??9.8L?H2limn??i?1n??i?1nn??n2n 将L?2, H?3代入上式得P?88.2(千牛). 5. 证明定积分性质: (1)?akf(x)dx?k?af(x)dx; (2)?a1?dx??adx?b?a. 证明 (1)?akf(x)dx?lim?kf(?i)?xi?klim?f(?i)?xi?k?af(x)dx. ??0i?1??0i?1nnbnnbbbbb (2)?a1?dx?lim?1??xi?lim??xi?lim(b?a)?b?a. ??0i?1??0i?1??0b 6. 估计下列各积分的值: (1)?1(x?1)dx; (2)??3425?4(1?sin2x)dx; 4 (3)?1xarctanxdx; (4)?2ex302?xdx. 解 (1)因为当1?x?4时, 2?x2?1?17, 所以 2?(4?1)??1(x2?1)dx?17?(4?1), 即 6??1(x2?1)dx?51. (2)因为当 44?5?x??时, 1?1?sin2x?2, 所以 445?5?5? 1?(??)???4(1?sin2x)dx?2?(??), 44444即 ????5?4(1?sin2x)dx?2?. 44|28 (3)先求函数f(x)?x arctan x在区间[ f?(x)?arctax?n[1313, 3]上的最大值M与最小值m. x1?x2. 因为当 13?x?3时, f ?(x)?0, 所以函数f(x)?x arctan x在区间 , 3]上单调增加. 于是 13)?13arctan1? m?f( 因此 ?363, M?f(3)?3arctan3??3. ?63(3?13)??1xarctanxdx?33?3(3?13), 即 ?9??1xarctanxdx?3232?. 3 (4)先求函数f(x)?ex f?(x)?ex2?x在区间[0, 2]上的最大值M与最小值m. ?x1(2x?1), 驻点为x?. 2 2 ?1?114, M?e 2. 于是 4m?ef()?e 比较f(0)?1, f(2)?e, ,得 2 ?1e4(2?0)??0ex222?xdx?e2?(2?0), . 即 ?2e???10x2?x4edxdx??2e2 7. 设f(x)及g(x)在[a, b]上连续, 证明: (1)若在[a, b]上???f(x)?0, 且?af(x)dx?0, 则在[a, b]上f(x)?0; (2)若在[a, b]上, f(x)?0, 且f(x)?0, 则?af(x)dx?0; (3)若在[a, b]上, f(x)?g(x), 且?af(x)dx??ag(x)dx, 则在[a??b]上f(x)?g(x). 证明 (1)假如f(x)?0, 则必有f(x)?0. 根据f(x)在[a, b]上的连续性, 在[a, b]上存在一点x0, 使f(x0)?0, 且f(x0)为f(x)在[a, b]上的最大值. 再由连续性, 存在[c, d]?[a, b], 且x0?[c, d], 使当x?[c, d]时, f(x)?bbbbf(x0). 于是 25|28 bcdbd?af(x)dx??af(x)dx??cf(x)dx??df(x)dx??cf(x)dx?bf(x0)(d?c)?0. 2这与条件?af(x)dx?0相矛盾. 因此在[a, b]上f(x)?0. (2)证法一 因为f(x)在[a, b]上连续, 所以在[a, b]上存在一点x0, 使f(x0)?0, 且f(x0)为f(x)在[a, b]上的最大值. 再由连续性, 存在[c, d]?[a, b], 且x0?[c, d], 使当x?[c, d]时, f(x)?f(x0). 于是 2 ?baf(x)dx??dcf(x0)f(x)dx?(d?c)?0. 2bbb 证法二 因为f(x)?0, 所以?af(x)dx?0. 假如?af(x)dx?0不成立. 则只有?af(x)dx?0, 根据结论(1), f(x)?0, 矛盾. 因此?af(x)dx?0. (3)令F(x)?g(x)?f(x), 则在[a, b]上F(x)?0且 b?aF(x)dx??a[g(x)?f(x)]dx??ag(x)dx??af(x)dx?0, bbbb由结论(1), 在[a, b]上F(x)?0, 即f(x)?g(x). 4. 根据定积分的性质及第7题的结论, 说明下列积分哪一个的值较大: (1)?0x2dx还是?0x3dx？ (2)?1x2dx还是?1x3dx？ (3)?1lnxdx还是?1(lnx)2dx？ (4)?0xdx还是?0ln(1?x)dx？ (5)?0exdx还是?0(1?x)dx？ 解 (1)因为当0?x?1时, x2?x3, 所以?0x2dx??0x3dx. 又当0?x?1时, x2?x3, 所以?0x2dx??0x3dx. (2)因为当1?x?2时, x2?x3, 所以?1x2dx??1x3dx. 又因为当1?x?2时, x2?x3, 所以?1x2dx??1x3dx. 222211112222111111