FG2?GH2?FH2GH3cosFGH???2FG?GH2FG6 3.因此，异面直线AD与BC所成角的余弦值为6
解法二：如答（19）图2，过F作FM⊥AC，交AB于M，已知AD=CD，
平面ABC⊥平面ACD，易知FC，FD，FM两两垂直，以F为原点，射线FM，FC，FD分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系F—xyz.
不妨设AD=2，由CD=AD，∠CAD=30°，易知点A，C，D的坐标分别为
A(0,?3,0),C(0,3,0),D(0,0,1),????则AD?(0,3,1).
显然向量k?(0,0,1)是平面ABC的法向量. 已知二面角C—AB—D为60°，
故可取平面ABD的单位法向量n?(l,m,n)，
1?n,k??60?,从而n?.2 使得
????3由n?AD,有3m?n?0,从而m??.66由l2?m2?n2?1,得l??.3
????????????B(x,y,0);由AB?BC,n?AB,取l?设点B的坐标为
63，有
?46?x2?y2?3,,x?0,?x????9?解之得,(舍去)?6??3?y??3x?(y?3)?0,??y?73,?6?3?9?
l??易知
63与坐标系的建立方式不合，舍去.
????46234673CB?(,?,0).B(,,0).9999因此点B的坐标为所以
从而
????????????????AD?CB??cos?AD,CB?????????|AD||CB|3(?3?1(23)9??462232)?(?)993.6
3.6故异面直线AD与BC所成的角的余弦值为 1每日一练7、设函数f(x)?x??alnx(a?R).
x(I)讨论f(x)的单调性；
（II）若f(x)有两个极值点x1和x2，记过点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直线的斜率为k，问：是否存在a，使得k?2?a?若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由． 解析：（I）f(x)的定义域为(0,??).
1ax2?ax?1 f'(x)?1?2?? 2xxx令g(x)?x2?ax?1,其判别式??a?4.
(1) 当|a|?2时,??0,f'(x)?0,故f(x)在(0,??)上单调递增．
2?>0,g(x)=0的两根都小于0，0,??)上，f'(x)?0，(2) 当a??2时,在(故f(x)在(0, )??上单调递增．
a?a2?4a?a2?4?>0,g(x)=0的两根为x1?(3) 当a?2时,， ,x2?22当0?x?x1时， f'(x)?0；当x1?x?x2时， f'(x)?0；当x?x2时， f'(x)?0，故f(x)分别在(0,x1),(x2,??)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减． （II）由（I）知，a?2．
因为f(x1)?f(x2)?(x1?x2)?x1?x2?a(lnx1?lnx2)，所以 x1x2k?f(x1)?f(x2)lnx?lnx21 ?1??a?1x1?x2x1x2x1?x2lnx1?lnx2
x1?x2又由(I)知，x1x2?1．于是k?2?a?若存在a，使得k?2?a.则
lnx1?lnx2?1．即lnx1?lnx2?x1?x2．亦即
x1?x2x2?1?2lnx2?0(x2?1)(*) x21t再由（I）知，函数h(t)?t??2lnt在(0,??)上单调递增，而x2?1，所以
x2?11?2lnx2?1??2ln1?0.这与(*)式矛盾．故不存在a，使得k?2?a. x21F,F每日一练8、（天津理18）在平面直角坐标系xOy中，点P(a,b)(a?b?0)为动点，12分别为椭圆
x2y2??1FPFa2b2的左右焦点．已知△12为等腰三角形．
（Ⅰ）求椭圆的离心率e；
??????????PFPFA,B2与椭圆相交于2上的点，满足AM?BM??2，求点M的轨迹（Ⅱ）设直线两点，M是直线
方程．
本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力.满分13分. （I）解：设
F1(?c,0),F2(c,0)(c?0) |PF2|?|F1F2|,
由题意，可得
即(a?c)2?b2?2c.ccc2()2??1?0,得??1aa整理得a（舍）， c11?.e?.2 或a2所以
（II）解：由（I）知a?2c,b?3c,
2223x?4y?12c, 可得椭圆方程为
直线PF2方程为y?3(x?c).
222??3x?4y?12c,??y?3(x?c). A，B两点的坐标满足方程组?2消去y并整理，得5x?8cx?0.
8x1?0,x2?c.5 解得
8?x?c,2??5?x1?0,???y??3c,??y?33c.?12?5 ? 得方程组的解
833A(c,c),B(0,?3c)55不妨设
??????833????(x,y),则AM?(x?c,y?c),BM?(x,y?3c)55设点M的坐标为， y?3(x?c),得c?x?由
3y.3
?????833833AM?(y?x,y?x),15555于是
???????????????BM?(x,3x).由AM?BM??2,
833833y?x)?x?(y?x)?3x??215555即， (218x?163xy?15?0. 化简得
18x2?15310x2?5y?代入c?x?y,得c??0.316x163x将
所以x?0.
218x?163xy?15?0(x?0). 因此，点M的轨迹方程是
x2y26已知椭圆G:2?2?1(a?b?0)的离心率为，右焦点为(22,0)。斜率为1的直线l与椭圆G交
ab3于A,B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(?3,2)。 （Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）求?PAB的面积。
1312x?x?2ax. 322（1）若f(x)在(,??)上存在单调递增区间，求a的取值范围；
316（2）当0?a?2时，f(x)在[1,4]上的最小值为?，求f(x)在该区间上的最大值.
322【解析】（1）f(x)在(,??)上存在单调递增区间，即存在某个子区间(m,n)?(,??) 使得
33112f'(x)?0.由f'(x)??x2?x?2a??(x?)2??2a，f'(x)在区间[,??)上单调递减，则
24321'2'2只需f()?0即可。由f()??2a?0解得a??，
3399设f(x)??所以，当a??12时，f(x)在(,??)上存在单调递增区间. 93（2）令f'(x)?0，得两根x1?1?1?8a1?1?8a1?1?8a，x1?，x2?. 222所以f(x)在(??,x1)，(x2,??)上单调递减，在(x1,x2)上单调递增 当0?a?2时，有x1?1?x2?4，所以f(x)在[1,4]上的最大值为f(x2)
27?6a?0，即f(4)?f(1) 24016??，得a?1，x2?2， 所以f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)?8a?3310从而f(x)在[1,4]上的最大值为f(2)?.
3又f(4)?f(1)??已知函数f(x)?lnx?ax2?(2?a)x．（I）讨论f(x)的单调性； （II）设a?0，证明：当0?x?111时，f(?x)?f(?x)； aaa（III）若函数y?f(x)的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f?（x0）＜0． 21．解：（I）f(x)的定义域为(0,??), f?(x)?1(2x?1)(ax?1)?2ax?(2?a)??. xx （i）若a?0,则f?(x)?0,所以f(x)在(0,??)单调增加. （ii）若a?0,则由f?(x)?0得x?1,且当 a11x?(0,)时,f?(x)?0,当x?时,f?(x)?0.
aa11所以f(x)在(0,)单调增加，在(,??)单调减少. ………………4分
aa11（II）设函数g(x)?f(?x)?f(?x),则
aag(x)?ln(1?ax)?ln(1?ax)?2ax,aa2a3x2
g?(x)???2a?.221?ax1?ax1?ax1时,g?(x)?0,而g(0)?0,所以g(x)?0. a111故当0?x?时，f(?x)?f(?x). ………………8分
aaa当0?x?（III）由（I）可得，当a?0时,函数y?f(x)的图像与x轴至多有一个交点， 故a?0，从而f(x)的最大值为f(),且f()?0.
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