第五章 恒定电流
I10?10v???7.35?10?15(m?s-1) ?628?19Sne1?10?8.5?10?1.6?10于是，自由电子沿导线漂移l?1cm需要的时间为
l1?10?212t???1.4?10(s) ?15v7.35?10
5-4 一个铜棒的截面积为20?80mm2，长为2.0m，两端的电势差为50mV。已知铜的电导率??5.7?107s?m?1，铜内自由电子的电荷体密度为1.36?1010C?m?3。求：（1）该铜棒的电阻；（2）电流；（3）电流密度；（4）铜棒内的电场强度；（5）铜棒中所消耗的功率；（6）棒内电子的漂移速度。
m?1.?6?3102，m长l?2.0m解：铜棒的截面积S?20?80m2，电导率??5.7?107s?m?1，则
（1） 铜棒电阻为
l1l2R?ρ????2.2?10?5??? 7?3S?S5.7?10?1.6?10（2） 由于铜棒两端的电势差为U?50mV?5?10?2V，则电流为
U5?10?23?2.3?10 I???A? ?5R2.2?10（3） 由电流密度的定义可知电流密度为
I2.3?103?1.4?106?A?m?2? j???3S1.6?10（4） 棒内的电场强度
j1.4?106?2?1?2.5?10V?m E?? ??7?5.7?10（5） 铜棒中所消耗的功率为
P?IR??2.3?10232??2.2?10?5?1.1?102?W?
（6） 由于自由电子的电荷体密度ne?1.36?1010c?m?3，则电子的漂移速度 为
j1.4?106??1.0?10?4?m?s? v?10ne1.36?10
5-5大多数生物细胞的形状类似圆球，这类细胞的细胞膜可视为一个同心球壳体系，如图5-3所示。由于活体细胞内外均有许多带电粒子，这些粒子可通过细胞膜进行交换，形成跨膜电流。设细胞膜内半径为Ra，外半径为Rb，膜中介
74
第五章 恒定电流
质的电阻率为?。求（1）细胞膜电阻；（2）若膜内外的跨膜电势为Uab，求跨膜电流的电流密度与半径r的关系。 解：（1）设想细胞膜是由许多个薄层圆形球面组成。以r代表其中任意一个薄层球面的半径，其面积dS?4?r2，以dr表示薄层的厚度，如图5-3所示。由题意可知电流沿径向方向流动，该薄层的电阻应为dR???drS???dr?4?r2?，则细胞膜的总电阻为
d r r Rb Ra R??dR??ρRaRaRbRbdr1?11?ρ?Rb?Ra? ?ρ????4?r24??RaRb?4?RaRb图5-3
（2）由于膜内外的跨膜电势为Uab，跨膜电流
Iab?UabUab4?RaRbUab?? R??Rb?Ra?4?RaRb??Rb?Ra?由于在距离球心r处的总电流Iab所通过的“截面积”S?4?r2，则跨膜电流的电
流密度与半径r的关系为
j?Iab4?RaRbUabUabRaRb??? 22S??Rb?Ra??4?r?rRb?Ra
5-6电缆的芯线是半径为r1?0.5cm的铜线，在铜线外面包有一层同轴的绝缘层，绝缘层的外半径为r2?1.0cm，电阻率??1.0?1012??m。在绝缘层外面又用铅层保护起来（见图5-4）。
求（1）长l?1000m的这种电缆沿径向的电阻；（2）当芯线与铅层间的电势差为100V时，在这电缆中沿径向的电流多大？
d r I r l
(a) (b) 图5-4 解：（1）设想整个绝缘层是由许多个薄圆桶形绝缘层叠合而成。如图5-4所示，以r代表其中任意一个薄层的半径，该薄圆桶形绝缘层的表面积S?2?rl，以dr表示此薄层的厚度，则由电阻公式，该薄层的径向电阻应为
75
第五章 恒定电流
drdr ?ρS2?rl长l?1000m的这种电缆沿径向的总电阻为
dR?ρR??dR??ρr1r2rρdr?ln2 2?rl2?lr1代入数据后，解得
1.0?10121.0?10?2R?ln()?1.1?108??? ?22??10000.5?10（2）当芯线与铅层间的电势差U?100V时，根据欧姆定律求得径向电流为 U100?7 I???9.1?10(A) 8R1.1?10
5-7 一个蓄电池在充电时通过的电流为3.0A，此时蓄电池两极间的电势差为4.25V。当这个蓄电池放电时，通过的电流为4.0A，此时两极间的电势差为3.90V。求该蓄电池的电动势和内阻。
解：如图5-5所示，设所选定的积分路径是自A端经蓄电池到B端，
A
应用含源电路的欧姆定律可得AB两端的电势差。
A` 当蓄电池充电时，有
UA?UB???Ir
ε、r
I B
充电
ε、r
I B`
图5-5
放电
当蓄电池放电时，有
??UB????I?r UA??UB??3.90V，将两式联立求解，并带入数据UA?UB?4.25V，I?3.0A；UAI??4.0A，可解得
??4.10?V?，r?0.05???
即蓄电池的电动势为4.10V,内阻为0.05Ω。
5-8 图5-6中的两个电源都是化学电池，?1?6V,?2?4V，内阻r1?r2?0.1?。求：（1）
???D A r1 充电电流；（2）每秒内电源?1消耗的化学能；（3）I 每秒内电源?2获得的化学能。
解：（1）如图5-6所示，对闭合回路ABCDA
B 应用基尔霍夫第二定律得：
?2??1?IRi2?IRi1?0
带入数据?1?6V，?2?4V，r1?r2?0.1?，解得
?2 r2 图5-6
C 76
第五章 恒定电流
I?10?A?
（2）每秒内电源?1消耗的化学能为
W1??1It?6?10?1?60?J?
（3）每秒内电源?2获得的化学能为
W2??2It?4?10?1?40?J?
5-9 电动势为?1?1.8V和?2?1.4V的两个电池与外电阻R以两种方式连接（如图5-7所示），图（a）中伏特计的读数为Va?0.6V。问：（1）图（b）中伏特计的读数为多少（伏特计的零点刻度在中央）？（2）讨论电池在两种情形中的能量转换关系。
?? ?2
?2 ?? B B′ I1 A V R C A′ V R I2 C′ （a） （b） 图5-7
解：（1）设电动势为?1、?2的两电池内阻分别为r1、r2，两电路中的电流I1、I2及方向如图5-7所示：对电路（a）应用含源电路的欧姆定律得
UA?UB???2?I1r2
①
对回路ABCA应用基尔霍夫第二定律得
??2??1?I1?r1?r2?R??0
②
类似地，对电路（b）得
UA??UB???2?I2r2
③
对回路A?B?C?A?得
?2??1?I2?r1?r2?R??0
④
联立求解①、②、③、④式，代入数据?1?1.8V、?2?1.4V、Va?0.6V即UA?UB??0.6V，可解出
UA??UB??1.5V
因伏特计的零点刻度在中央，在电路（a）中UA?UB读数为0.6V，则在电路（b）中UA??UB?读数应为?1.5V。
77
第五章 恒定电流
（2）在（a）电路中，电流方向与?2的方向一致，电池2处于放电状态。电池2消耗的电能一部分输出给外电路，另一部分转化为其内阻上的焦耳热。
在（b）中电池2处于充电状态，外电路输入的能量一部分转化为电池2的非静电能，另一部分转化为其内阻上的焦耳热。
5-10 利用安培计和伏特计来测量电阻（已知安培计的电阻RA?0.03?，伏特计的电阻RV?1000?），有下列两种方法：（1）按图5-8（a）的接法，安培计的读数为I1?0.32A，伏特计的读数为V1?9.60V。试求在计算电阻值时因未将安培计的电阻计算在内而造成的相对误差。如I1??7.00A,V1??2.10V，作同样的计算。（2）按图5-8（b）的接法，安培计的读数为I2?2.40A,伏特计的读数为V2?7.20V。试求在计算电阻值时因未将通过伏特计中的电流计算在内而造成
??20mA,V2??7.20V，作同样的计算。的相对误差。如I2（3）通过上面的计算，讨论所得的结果。
解：（1）对图5-8（a），若考虑安培计的内阻，流经R的电流为I1，R上的电压降U?V1?I1RA，则测出的电阻为
R?UV1?I1RA? I1I1V (a) (b)
V A R A R 若不考虑安培计的内阻，则测出的
阻值为
R??测量的相对误差为
V1 I1图5-8
E?R??RR?100%?I1RA?100%
V1?I1RA带入数据I1?0.32A，V1?9.60V，RA?0.03?，解得E?0.10%。如I1??7.00A，V1??2.10V，作同样的计算得E??11%。
（2）对图5-8（b），考虑到伏特计的电阻，则流经待测电阻R的电流为
I?I2?V2 RV于是
R?V2RVV2V2??
VII2RV?V2I2?2RV带入数据I2?2.40A，V2?7.20V，RV?1000?，解得R?3.009???。
78