证明：若Z是X的一个不连通子集，则在X中有非空的隔离子集A,B 使得Z?A?B.因此Y?A?B ………………………………… 3分 由于Y是连通的，所以Y?A或者Y?B,如果Y?A，由于
Z?Y?A，所以Z?B?A?B??，因此 B?Z?B??,同理可证
如果Y?B，则A??,均与假设矛盾.故Z也 是X的一个连通子集. …………………………………………………………………… 8分 5、设{Y?}???是拓扑空间X的连通子集构成的一个子集族.如果
????Y???,则????Y?是X的一个连通子集.
证明：若????Y?是X的一个不连通子集.则X有非空的隔离子集
A,B使得????Y??A?B………………………………………… 4分
任意选取x?????Y?,不失一般性，设x?A,对于每一个???，由于
Y?连通，从而????Y??A及B??,矛盾，
所以????Y?是连通的. ………………………………………… 8分 6、设A是拓扑空间X的一个连通子集，B是X的一个既开又闭的集合.证明：如果A?B??,则A?B.
证明：若B?X,则结论显然成立.
下设B?X,由于B是X的一个既开又闭的集合,从而A?B是X的子空间A的一个既开又闭的子集………………………………… 4分 由于A?B??及A连通，所以A?B?A，故A?B.………… 8分 7、设A是连通空间X的非空真子集. 证明:A的边界?(A)??. 证明：若?(A)??,由于?(A)?A??A??,从而
??A??A???(A??A??)?(A?A?)?(A??A?)?(A?A??),
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故A ,A?是X的隔离子集 ………………………………………… 4分 因为A是X的非空真子集,所以A和A?均非空,于是X不连通,与题设矛盾.所以?(A)??. ……………………………………………… 8分 8、设X是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明X不满足第一可数性公理.
证明：若X满足第一可数公理，则在x?X处,有一个可数的邻域基，
设为V x ,因为X是可数补空间，因此对?y?X,y?x,X?{y}是x的一个开邻域，从而? Vy?V x ,使得Vy?X?{y}. 于是{y}?Vy, …………………………………………………4分 由上面的讨论我们知道：
?X?{x}?y?X?{x}? {y}?y?X?{y}?
V?y?是一个可数集，矛盾.
因为X?{x}是一个不可数集，而
y?X?{x}? Vu从而X不满足第一可数性公理. ………………………………8分
9、设X是一个含有不可数多个点的有限补空间.证明:X不满足第一可数性公理.
证明：若X满足第一可数公理，则在x?X处,有一个可数的邻域基，
设为V x ,因为X是有限补空间，因此对?y?X,y?x,X?{y}是x的一个开邻域，从而? Vy?V x ,使得Vy?X?{y}.于是
?{y}?Vy, …………………………………………………4分
由上面的讨论我们知道：
X?{x}?y?X?{x}? {y}?y?X?{y}? Vy?
37
因为X?{x}是一个不可数集，而
y?X?{x}? Vu?是一个可数集，矛盾.
从而X不满足第一可数性公理. ………………………………8分 10、设X,Y是两个拓扑空间，f:X?Y是一个满的连续开映射.X满足
第二可数性公理，证明：Y也满足第二可数性公理.
证明：设X满足第二可数性公理，B是它的一个可数基.由于
??{f(B)|B?B}是由Y中开集构成的一f:X?Y是一个开映射，B 个可数族. …………………………………………………………3
分
下面证明B?是Y的一个基.设U是Y的任意开集，则f?1(U)是X中的一个开集.因此存在B 1?B,使得f?1(U)??B?BB.由于f是一
1个满射，所以有U?f(f?1(U))?B?B 1?f(B),从而U是B?中某些元素
的并，故B?是Y的一个基.这说明Y也满足第二可数性公理. ……8分
11、设X,Y是两个拓扑空间，f:X?Y是一个满的连续开映射.X满足
第一可数性公理，证明：Y也满足第一可数性公理.
证明：对?y?Y,由于f:X?Y是一个满射，所以存在x?X,使得
f(x)?y,由于X满足第一可数性公理，故在点x处存在一个可数邻
域基，设为V x,又由于f:X?Y是一个开映射，则
?y ?{f(V)|V?V x}是Y中点y的一个可数邻域族. …………3分 V ?y是Y中点y的一个邻域基.设U是Y中点y的任意邻域，下面证明V 则f?1(U)是X中点x的一个邻域.因此存在V?V x,使得V?f?1(U).
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?y是Y中点y的一个邻域基.这说明Y也满足第因此f(V)?U,从而V 一可数性公理. ……………………………………………………8分
12、A是满足第二可数性公理空间X的一个不可数集。求证：A至少有一个凝聚点. 证明：若A没有凝聚点，则对任x?A,一定存在x的一个邻域Ux， 使得：Ux?A?{x},由于X满足第二可数性公理，设B是它的可数基，故一定存在一个Bx?B,使得：x?Bx?Ux,
更有Bx?A={x}, ……………………………………………………4分 若令C={Bx| x?A, Bx? B, Bx?Ux},则有C ? B ，从而C必可数.于是 A =?{x}=
x?ABx?C?(Bx?A).这样A就是可数集，这与题设A
为不可数集相矛盾，故A至少有一个凝聚点. …………………8分 13、证明满足第二可数性公理的空间中每一个由两两无交的开集构成的
集族都是可数族. 证明：设A是满足第二可数性公理的空间X中由两两无交的开集构成的集族, 由于X满足第二可数性公理，
设B是X的可数基 ………………………………………………3分 对A的每一个元素A ,因为B是X的基,存在B?B使得B?A.因为A中的元素两两无交,从而A中不同元素包含B中的元素也不相同.因为B可数, 故A是可数族. ………………………………8分 14、设X是一个T1空间,A?X,x?d(A),证明：x的每一个邻域U中都
含有A中的无限多个点.
证明：设x?d(A)，若x有一个开邻域U含有A中的有限多个点，设
B?U?A?{x},则B是一个有限集，从而B是一个闭集，故U?B是
一个开集且是x的一个开邻域. …………………………………4分 又易知(U?B)?(A?{x})??,从而x?d(A)，矛盾.故U含有A中的
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无限多个点. ………………………………………………………8分 15、设X是一个T1空间,A?X,x?d(A),证明：对x的每一个邻域U有
U?A是无限集.
证明：设x?d(A)，若x有一个开邻域U含有A中的有限多个点，设从而B是一个闭集，故U?B是B?U?A?{x},则B是一个有限集，
一个开集且是x的一个开邻域. …………………………………4分 又易知(U?B)?(A?{x})??,从而x?d(A)，矛盾.故U?A是无限集. …………………………………………………………………8分 16、设{xi}是T2空间X的一个收敛序列,证明：{xi}的极限点唯一.
证明：若极限点不唯一，不妨设limxi?y1,limxi?y2,其中y1?y2，
i??i??由于X是T2空间，故y1和y2各自的开邻域U,V，使得U?V??.因
limxi?y1，故存在N1?0，使得当i?N1时，同理存在N2?0，xi?U；
i??使得当i?N2时，xi?V.…………………………………………4分 令N?max{N1,N2},则当i?N时，从而U?V??,矛盾，xi?U?V，故{xi}的极限点唯一. ……………………………………………8分 17、设X是一个拓扑空间，证明X是hausdorff空间当且仅当积空间
X?X的对角线??{(x,x)?X?X|x?X}是一个闭集.
证明：充分性：对任意x,y?X,x?y，于是(x,y)???,由于?是闭集，所以??是开集，从而有X的开邻域U,V使得(x,y)?U?V???，于是U,V分别是x,y的开邻域,且U?V??，从而X是Hausdorff空间. ……………………………………………………………4分 必要性：若X是hausdorff空间，对?(x,y)???，则x和y分别有
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