开邻域U,V，使得U?V??，从而(x,y)?U?V???，由于U?V是
X?X中的开集，所以??是其每一点的邻域，故??是开集，从而?是闭集. ……………………………………………………………8分
18、设X是Hausdorff空间，f:X?X是连续映射.证明
A?{x?X|f(x)?是x}X的闭子集.
证明：对于?x?A?，则f(x)?x，从而f(x),x有互不相交的开邻域
U和V，设W?f?1(U)?V，…………………………………4分
则W是x的开邻域，并且x?W?A?,故A?是开集，
从而A是闭集. …………………………………………………8分 19、设X是一个正则空间，A是X的闭子集,x?A，证明：x和A分别
有开邻域U和V使得U?V??.
证明：由于X是一个正则空间，从而x和A分别有开邻域W和V使得W?V??，故V?W?，因此V?W?. ………………4分 又由正则空间的性质知：存在x的开邻域U使得U?W,从而
U?V??. ……………………………………………………8分
20、设X是一个正规空间，A ，B是X的两个无交的闭子集.证明：A和
B分别有开邻域U和V使得U?V??.
证明：由于X是一个正规空间，从而A和B分别有开邻域W和V使得W?V??，故V?W?，因此V?W?.………………4分 由正规空间的性质知：存在A的开邻域U使得U?W,从而
U?V??. ……………………………………………………8分
21、设X是一个拓扑空间，[0,1]是闭区间，若对X的任何两个无交的闭
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集A,B都存在一个连续映射f:X?[0,1],使得当x?A时，f(x)?0,当x?B时，f(x)?1.证明：X是一个正规空间.
证明：设A,B是X的任意两个无交的闭集，由题意知存在一个连续映射f:X?[0,1],使得当x?A时，f(x)?0,当x?B时，f(x)?1.设U?f?1([0,0.5)),V?f?1((0.5,1]),……………………………4分 易知U,V分别是A和B的开邻域且U?V??.从而X是一个正规空间. ………………………………………………………………8分 22、证明T4空间中任何一个连通子集如果包含着多于一个点，则它一定
是一个不可数集.
证明：设C是T4空间X中的一个连通子集，如果C不只包含一个点，任意选取x,y?C,x?y.对于T4空间X中的两个无交的闭集
{x},{y}，应用Urysohn引理可见，存在一个连续映射f:X?[0,1]，
使得f(x)?0和f(y)?1.………………………………………4分 由于C是X的一个连通子集，从而f(C)连通，由于0,1?f(C)， 所以f(C)?[0,1]，由于[0,1]是一个不可数集，所以C也是一个不可数集. ……………………………………………………………8分 23、X是T4空间，B为X的一个拓扑基，则对于每一个B?B及x?B,
都有一个B1?B使得x?B1?B.
证明：X是T4空间，必为T1的正规空间，对任意x?X,{x}为闭集. 对于B?B且x?B,B就是{x}的一个开邻域.由于X为正规空间，必
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存在{x}的一个开邻域U,使得U?B.……………………4分 U也是x的开邻域，一定存在一个B1?B ，使得 x?B1?U,且有
B1?U，当然就有x?B1?B.………………………………8分 24、设X为Hausdorff空间 ,f:X?X是一个连续映射, 且
f?f?f．证明:f(X)是X的闭集．
证明：对?x?X?f(X)，则f(x)?x，由于X是Hausdorff空间，存在x和f(x)的邻域U1,V，使得U1?V??.又因为f连续,故存在x的邻域U2,使得f(U2)?V,令U?U1?U2,则U是x的邻域,且U?X?f(X).………………………………………………4分 事实上,若存在z?U使得z?f(X),即? y?X使得z?f(y).于是
f(z)?f?f(y)?f(y)?z,而f(z)?f(U)?V,
这样,z?U?V?U1?V??,矛盾.所以U?X?f(X),即f(X) 是闭集. …………………………………………………………8分 25、设X是T1空间，A是X的至少含有两点的连通子集，则A一定是无
限集．
证明：若A为有限集，设a,b?A且a?b,由于X为T1空间，于是{a}与A-{a}就是X的闭集.且{a}?（A-{a}）=ф及A-{a}?ф,…4分 从而，A={a}?(A-{a}) ,故A不是X的连通子集.这与题设相矛盾，所以A必为无限集. ………………………………………………8分 26、如果拓扑空间的每一个紧致子集都是闭集，则X的每个收敛序列{xi} 的极限点唯一. 证明：因为单点集总是紧致子集，从而拓扑空间X的每一个单点集是
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闭集，故X是T1空间，若{xi}的极限点不唯一，不妨设收敛到a,b,a?b.易知X?{b}是包含a的开邻域,因此它包含序列{xi}的几乎所有项，也就是说{xi}只有有限项为b …………………………………4分 设A?{xn|xn?b}?{a},则A是紧致子集，从而是闭集.故A?是b的一个开邻域，它最多只能含{xi}的有限多项，从而b不是{xi}的极限点，矛盾.从而X的每个收敛序列{xi}的极限点唯一. ……………8分 27、设X,Y是两个拓扑空间，f:X?Y是一个连续映射.如果A是X的一个紧致子集，证明f(A)是Y的一个紧致子集.
证明：设C是f(A)的一个由Y中的开集构成的覆盖.对于任意C?C，
f?1(C)是X中的一个开集，由于?c?CC?f(A),从而有：
C?C?f?1(C)?f?1(?C)?f?1(f(A))?A
C?C所以A={f?1(C)|C?C}是一个由X中的开集构成的A的覆盖.由于
A是X的一个紧致子集，所以A 有一个有限子族，设为
{f?1(C1),?,f?1(Cn)}覆盖A. …………………………………4分 因
为
1?1f?1(C1)???f?(C(C1???Cn)?An)?f，从而
C1???Cn?f(A)，即{C1,?,Cn}是C 的一个子族并且覆盖f(A)，因此f(A)是Y的一个紧致子集. ………………………………8分 28、设X是一个正则空间，A是X的一个紧致子集，Y?X.证明：如果A?Y?A,则Y也是X的一个紧致子集.
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证明：设A是任意一个由X中的开集构成的Y的覆盖，因此A也是
A的一个覆盖，由于A是X的紧致子集，从而A有有限个成员
A1,?,An使得?Ai?A. …………………………………4分
i?1n由于A是正则空间的紧致子集，从而A有一个开邻域U，使得
U??Ai,从而有?Ai?A?Y,从而A有有限子覆盖
i?1i?1nn{A1,?,An}，因此Y是X的一个紧致子集. ………………8分
29、设X是一个正则空间，A是X的一个紧致子集.证明：A也是X的一个紧致子集.
证明：设A是任意一个由X中的开集构成的A的覆盖，因此A也是
A的一个覆盖，由于A是X的紧致子集，从而A有有限个成员
A1,?,An使得?Ai?A. …………………………………4分
i?1n由于A是正则空间的紧致子集，从而A有一个开邻域U，使得
U??Ai,从而有?Ai?A,从而A有有限子覆盖{A1,?,An}，
i?1i?1nn因此A是X的一个紧致子集. ………………………………8分 30、设X是一个Hausdorff空间，A 是它的一个非空集族，由X的紧致子集构成，证明：?A?AA是X的一个紧致子集.
证明：对于任意A?A，易知A是一个闭集，从而?A?AA是X的一个闭集. ………………………………………………………4分
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