鹿邑前沿教育
根与系数的关系知识点及综合应用
一、一元二次方程根与系数的关系
（1） 若方程ax2?bx?c?0 (a≠0)的两个实数根是x1，x2，
则x1+x2= -
bc，x1x2= aa
（2） 若一个方程的两个根为x1,，x2，那么这个一元二次方程为 ax2??x1?x2?x?x1x2?0 (a≠0)
二、根与系数的关系的应用：
（1）验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；
（2）判别一元二次方程两根的符号。
?? 例1：不解方程，判别方程两根的符号。
分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常
数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定既要求出判别式的值，又要确定
或
或
的正负情况。因此解答此题的关键是：
的正负情况。
解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0
∴方程有两个不相等的实数根。
设方程的两个根为， ∵＜0
∴原方程有两个异号的实数根。
说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中若
＞0，仍需考虑
＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘
的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。
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（3）求根及未知数字母系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数字母系数.
例2：已知方程
的一个根为2，求另一个根及
的值。
分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把
代入原方程，
先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。 解法一：把
代入原方程，得：
即
解得 当
， 解得：
时，原方程均可化为：
∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。
解法二：设方程的另一个根为，根据题意，利用韦达定理得：
，
∵
，∴把
代入
，可得：
∴把代入，可得：，
即 解得
∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。
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说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。
（4）求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于x1和x2的代数式的值，
根与系数关系常用的转化关系：
x1+ x2 =(x1+x2) - 2x1x2 ；
2
2
2
11x?x22
；（x1+a）(x2+a)=x1x2+a(x1+x2)+a； ?=1x1x2x1x2（x1-x2）=(x1+x2)-4x1x2 ；∣x1-x2∣=
22
??x1?x2??4x1x2
2?（5） 求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般
式. 2
X-(x1+x2)x+x1x2=0
（6）运用判别式及根与系数的关系解题。 例：已知、零实数根，问和
是关于的一元二次方程
能否同号？若能同号，请求出相应的
的两个非
的取值范围；若不
能同号，请说明理由，
解：因为关于的一元二次方程
有两个非零实数根，
∴则有
∴
又∵、是方程的两个实数根，所以由一元二次
方程根与系数的关系，可得：
假设、同号，则有两种可能：
（1） （2）
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若
， 则有： ；
即有：
解这个不等式组，得
∵时方程才有实树根，∴此种情况不成立。
若 ， 则有：
即有：
解这个不等式组，得；
又∵，∴当时，两根能同号
说明：一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数的内在联系，是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具，也是计算有关一元二次方程根的计算问题的重要工具。知识的运用方法灵活多样，是设计考察创新能力试题的良好载体，在中考中与此有联系的试题出现频率很高，应是同学们重点练习的内容。
（7）运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题。
例：已知、是方程
的两个实数根，求
的值。
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分析：本题可充分运用根的意义和根与系数的关系解题，应摒弃常规的求根后，再带入的方法，力求简解。 解法一：由于是方程
的实数根，所以
设，与相加，得：
）
（变形目的是构造
根据根与系数的关系，有：
，
和）
于是，得：
∴=0
解法二：由于、是方程的实数根，
∴
∴
说明：既要熟悉问题的常规解法，也要随时想到特殊的简捷解法，是解题能力提高的重要标志，是努力的方向。
有关一元二次方程根的计算问题，当根是无理数时，运算将十分繁琐，这时，如果方程的系数是有理数，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用。这类问题在解法上灵活多变，式子的变形具有创造性，重在考查能力，多年来一直受到命题老师的青睐。