2014-2015学年江苏省南京师大附中高一（上）期中数学试卷
一、填空题：（本大题共14小题；每小题3分，共42分，把答案填在答题卡的相应位置．） 1．（3分）设全集U={0，1，2，3，4}，A={0，1，2，3}，B={2，3，4}，则（?∪A）∪（?∪B）=．
2．（3分）函数y=log2（3x﹣2）的定义域是． 3．（3分）如图，设实数a，b，c，d＞0，且不等于1，曲线①，②，③，④分别表示函数y=a，y=b，y=logcx，y=logdx在同一坐标系中的图象，则a，b，c，d的大小顺序为．
x
x
4．（3分）某高级中学高一特长班有100名学生，其中学绘画的学生有67人，学音乐的学生有45人，而学体育的学生既不能学绘画，也不能学音乐，人数是21人，那么同时学绘画和音乐的学生有人．
5．（3分）已知幂函数y=x的图象过点（8，4），则这个函数的解析式是．
6．（3分）已知函数f（n）=
7．（3分）设lg2=a，lg3=b，则log512=．
8．（3分）函数y=lg（x﹣2x）的单调递增区间是． 9．（3分）f（x）是定义在（0，+∞）上的单调增函数，若f（x）＞f（2﹣x），则x的取值范围是．
10．（3分）（log43+log83）（log32+log92）+log
11．（3分）函数f（x）=xlog2x﹣3的零点所在区间为（k，k+1）（k∈Z），则k的值是．
2
α
，其中n∈N，则f（8）等于．
=．
12．（3分）已知函数f（x）=
13．（3分）若函数y=x﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣
14．（3分）已知f（x）是R上的奇函数，满足f（x+2）=f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=2﹣2，则f（log6）=．
x
2
的定义域是一切实数，则m的取值范围是．
，﹣4]，则m的取值范围是．
二、解答题：（本大题共6小题，共计58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的指定区域内.） 15．（8分）集合A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x＜7}，C={x|x＜a}， （1）求A∪B；
（2）求（?RA）∩B；
（3）若A∩C≠?，求a的取值范围．
16．（8分）函数y=a+2a﹣1（a＞0且a≠1）在区间[﹣1，1]上有最大值14，试求a的值．
17．（10分）已知a为实数，当a分别为何值时，关于x的方程|x﹣6x+8|﹣a=0有两个、三个、四个互不相等的实数根？ 18．（10分）某校学生研究性学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化．老师讲课开始时学生的兴趣激增，接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散．该小组发现注意力指标f（t）与上课时刻第t分钟末的关系如下（t∈（0，40]，设上课开始时，t=0）：
2
2x
x
f（t）=（a＞0且a≠1）．若上课后第5分钟末时的注意力指标
为140，
（1）求a的值；
（2）上课后第5分钟末和下课前5分钟末比较，哪个时刻注意力更集中？ （3）在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？
19．（10分）已知函数f（x）=2ax+（a∈R）．
（1）当0＜a≤时，试判断f（x）在（0，1]上的单调性并用定义证明你的结论； （2）对于任意的x∈（0，1]，使得f（x）≥6恒成立，求实数a的取值范围．
20．（12分）已知函数f（x）=lg．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）若f（x）≤1，求实数x的取值范围； （3）关于x的方程10
f（x）
=ax有实数解，求实数a的取值范围．
2014-2015学年江苏省南京师大附中高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：（本大题共14小题；每小题3分，共42分，把答案填在答题卡的相应位置．） 1．（3分）设全集U={0，1，2，3，4}，A={0，1，2，3}，B={2，3，4}，则（?∪A）∪（?∪B）={0，1，4}．
考点： 交、并、补集的混合运算． 专题： 集合．
分析： 由全集U，以及A，B，求出A的补集与B的补集，找出两补集的并集即可． 解答： 解：∵全集U={0，1，2，3，4}，A={0，1，2，3}，B={2，3，4}， ∴?∪A={4}，?∪B={0，1}，
则（?∪A）∪（?∪B）={0，1，4}， 故答案为：{0，1，4}
点评： 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
2．（3分）函数y=log2（3x﹣2）的定义域是{x|x＞}．
考点： 函数的定义域及其求法．
分析： 对数函数的真数一定要大于0，即，3x﹣2＞0，从而求出x的取值范围．
解答： 解：因为3x﹣2＞0，得到x故答案为：{x|x＞}
点评： 对数函数定义域经常考，注意真数一定要大于0． 3．（3分）如图，设实数a，b，c，d＞0，且不等于1，曲线①，②，③，④分别表示函数xx
y=a，y=b，y=logcx，y=logdx在同一坐标系中的图象，则a，b，c，d的大小顺序为d＞c＞a＞b．
考点： 对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据指数函数的和对数的函数的图象和性质判断即可．
x x
解答： 解：由函数的图象可得①y=a是减函数，②y=b是减函数，故底数a，b都是大于0且小于1的实数．
作出直线x=1和函数①②图象的交点，可得a＞b，故0＜b＜a＜1．
由函数的图象可得函数③y=logcx 和④y=logdx是增函数，故底数c，d都是大于1的实数． 作出直线y=1和函数③④图象的交点，可得d＞c，故有 d＞c＞1． 综上可得 d＞c＞a＞b 故答案为：d＞c＞a＞b
点评： 本题主要考查了指数函数和对数函数的图象和性质，属于基础题 4．（3分）某高级中学高一特长班有100名学生，其中学绘画的学生有67人，学音乐的学生有45人，而学体育的学生既不能学绘画，也不能学音乐，人数是21人，那么同时学绘画和音乐的学生有33人．
考点： Venn图表达集合的关系及运算． 专题： 集合．
分析： 根据学生学特长之间的关系即可得到结论．
解答： 解：∵学体育的学生既不能学绘画，也不能学音乐，人数是21人， ∴学绘画和学音乐的人数是100﹣21=79人，
∵学绘画的学生有67人，学音乐的学生有45人， ∴同时学绘画和音乐的学生有67+45﹣79=33人， 故答案为：33
点评： 本题考查两个集合的交集、并集、补集的定义，比较基础．
5．（3分）已知幂函数y=x的图象过点（8，4），则这个函数的解析式是f（x）=
考点： 幂函数的概念、解析式、定义域、值域． 专题： 函数的性质及应用．
α
．
分析： 设幂函数f（x）=x，把点（8，4）代入即可解出．
α
解答： 解：设幂函数f（x）=x，把点（8，4）代入可得4=8，解得．α=
αα
∴f（x）=．
．
故答案为：f（x）=
点评： 本题考查了幂函数的定义，属于基础题．
6．（3分）已知函数f（n）=
，其中n∈N，则f（8）等于7．
考点： 函数的值． 专题： 计算题．
分析： 根据解析式先求出f（8）=f[f（13）]，依次再求出f（13）和f[f（13）]，即得到所求的函数值．
解答： 解：∵函数f（n）=，
∴f（8）=f[f（13）]， 则f（13）=13﹣3=10，
∴f（8）=f[f（13）]=10﹣3=7， 故答案为：7．
点评： 本题是分段函数求值问题，对应多层求值按“由里到外”的顺序逐层求值，一定要注意自变量的值所在的范围，然后代入相应的解析式求解．
7．（3分）设lg2=a，lg3=b，则log512=
．
考点： 对数的运算性质． 专题： 计算题．
分析： 利用换底公式进行转化求解是解决本题的关键，然后将所得分式的分子与分母的真数化为2，3的乘积的形式进行代入计算出结果．
解答： 解：log512=
=．
故答案为：．
点评： 本题考查对数换底公式的运用，考查对数运算性质的应用，考查学生等价转化的能力和运算化简得能力．
8．（3分）函数y=lg（x﹣2x）的单调递增区间是（2，+∞）．
考点： 对数函数的单调性与特殊点．
2