规范答题示例7 解析几何中的探索性问题
典例7 (12分)已知定点C(－1,0)及椭圆x＋3y＝5，过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点．
1
(1)若线段AB中点的横坐标是－，求直线AB的方程；
2
→→
(2)在x轴上是否存在点M，使MA·MB为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
审题路线图 (1)设AB的方程y＝k?x＋1?→待定系数法求k→写出方程 →→→→
(2)设M存在即为M?m，0?→求MA·MB→在MA·MB为常数的条件下求m→下结论
规 范 解 答·分 步 得 分 构 建 答 题 模 板 2
2
解 (1)依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k(x＋1)， 第一步 将y＝k(x＋1)代入x＋3y＝5，消去y整理得(3k＋1)x＋6kx＋3k－5＝0.2分 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则422Δ＝36k－4?3k＋1??3k－5?>0， ①??2?6kx1＋x2＝－2. ②?3k＋1?2222222先假定：假设结论成立. 第二步 再推理：以假设结论 成立为条件，进行推理求解. 第三步 下结论：若推出合理结果，经验证成立则肯定假设；若推出矛盾则否定假设. 1x1＋x23k1由线段AB中点的横坐标是－，得＝－2＝－，解得k＝223k＋12±3，适合①. 3所以直线AB的方程为x－3y＋1＝0或x＋3y＋1＝0.4分 →→(2)假设在x轴上存在点M(m,0)，使MA·MB为常数. (ⅰ)当直线AB与x轴不垂直时， 6k3k－5由(1)知x1＋x2＝－2，x1x2＝2. ③ 3k＋13k＋1→→2所以MA·MB＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝(x1－m)(x2－m)＋k(x1＋1)(x2＋1) ＝(k＋1)x1x2＋(k－m)(x1＋x2)＋k＋m.7分 222222第四步 再回顾：查看关键点，易错点(特殊情况、隐含条件等)，审视解题规范性. 1
→→?6m－1?k－52将③代入，整理得MA·MB＝＋m＝23k＋12?2m－1??3k2＋1?－2m－14?3?3??3k＋1216m＋1422＋m＝m＋2m－－.9分 233?3k＋1?→→注意到MA·MB是与k无关的常数， 7→→4从而有6m＋14＝0，解得m＝－，此时MA·MB＝.10分 39?－1，2?(ⅱ)当直线AB与x轴垂直时，此时点A，B的坐标分别为??，3??7?－1，－2?→→4??，当m＝－3时，也有MA·MB＝9.11分 3??→→?7?综上，在x轴上存在定点M?－，0?，使MA·MB为常数.12分 ?3?
评分细则 (1)不考虑直线AB斜率不存在的情况扣1分； (2)不验证Δ>0，扣1分；
(3)直线AB方程写成斜截式形式同样给分； (4)没有假设存在点M不扣分；
→→
(5)MA·MB没有化简至最后结果扣1分，没有最后结论扣1分．
x2y21
跟踪演练7 已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长
ab2
为半径的圆与直线7x－5y＋12＝0相切． (1)求椭圆C的方程；
(2)设A(－4,0)，过点R(3,0)作与x轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，连接AP，AQ16
分别交直线x＝于M，N两点，若直线MR，NR的斜率分别为k1，k2，试问：k1k2是否为定值？
3若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
??12
解 (1)由题意得?＝b，
7＋5??a＝b＋c，
2
2
2
c1
＝，a2
?a＝4， ∴?b＝23，
?c＝2，
故椭圆C的方程为＋＝1.
1612(2)设直线PQ的方程为x＝my＋3，
x2y2
2
P(x16
161，y1)，Q(x2，y2)，M???3，yM???
，N???3
，yN???
.
?2
2
由?xy?16＋12＝1，
??x＝my＋3，
得(3m2
＋4)y2
＋18my－21＝0， 且Δ＝(18m)2
＋84(3m2
＋4)>0， ∴y＋y－18m－21
12＝3m2＋4，y1y2＝3m2＋4.
由A，P，M三点共线可知，
yM16＝
y1
，3
＋4x
1＋4∴y28y1
M＝3?x＋4?. 1同理可得y28y2
N＝3?x，
2＋4?
∴kyMyN9yMyN1k2＝16×＝
3－3163
－349＝
16y1y2
?x??x 1＋42＋4?
∵(x1＋4)(x2＋4)＝(my1＋7)(my2＋7) ＝m2
y1y2＋7m(y1＋y2)＋49
∴k16y1k2＝1y212
m2y7m?y＝－1y2＋1＋y2?＋497，为定值．我爱我的家
110 3