的波动方程在频率域中求解。伪谱法对微分算子的逼近程度可以达到尼奎斯特频率，并且收敛速度快。但由于傅立叶变换是基于整个空间域的，改变空间中任一点的值就会改变频率域中的所有值，因此每一个点的微分结果都要受到计算域中其它点的影响。实际上，求导运算应该是一种局部运算，对于空间物性剧烈变化的情形显然有其局限性。与有限差分法和有限元法相比而言，伪谱法在频率域中的分辨率高，而在时间域的分辨率却相对较低。
将有限元法和伪谱法相结合就产生了现在流行的地震波数值模拟方法——谱元法。
如果地震波场具有规则的特征，即地下介质是均匀分布的，那么上面几种算法都是适合的。事实上，由于地下介质的分布具有高度非均匀性，且这种非均匀性发生在非常大的尺度范围内(其尺度从岩石粒度到全球球谐函数的最低阶)，地面接收到的地震波场不仅包含反射和折射信息，还包含了散射信息(介质的奇异性信息)。介质的这种多尺度非均匀性通过地震波动方程可以映射到地面接收的地震记录中，其中介质的物理性质变化通过波动方程的系数体现出来。
3 .20世纪90年代以来地震波数值模拟新进展
随着地震波理论在天然地震和勘探地震中的应用，地震模拟技术应运而生，并随着波动理论和计算机技术的发展，
地震数值模拟技术自20世纪90年代以来得到了飞速发展，到目前为止形成了射线追踪法、有限差分法、有限元法、伪谱法、谱元法和积分方程法等各种现代数值模拟技术。 有限差分法是偏微分方程的主要数值解法之一。在各种数值模拟方法中，最早出现的就是有限差分法。Alterman等[11首先将有限差分法应用于层状介质弹性波传播的数值模拟中，之后许多研究人员对该方法作了深入的探讨。Tal—EzerH等[21研究了线性粘弹性介质中地震波传播的数值模拟方法；Robertsson等[3]给出了粘弹性波有限差分模拟方法；Carcione和Helle[41提出了孔隙粘弹性介质中地震波传播的交错网格有限差分模拟方法。
一般的有限差分地震模拟方法是基于笛卡儿坐标系中的规则网格，在模拟复杂地质构造和复杂地质体的复杂界面时，必然会出现弯曲边界，在这种边界上必然会引起人为的虚假绕射波，为了减弱这种虚假绕射，就必须采用精细网格，而这不仅会导致存储量的增加和计算量的加大，而且会带来误差的积累。为此，人们发展了基于可变网格和不规则网格的地震波数值模拟方法。
Jastram等口]提出了垂直间距可变网格的弹性波模拟方法；Oprsal等¨]提出了非均匀介质弹性波的矩形不规则网格有限差分模拟方法；Nordstrom等[7]提出了曲线坐标下变形网格高阶有限差分法地震波数值模拟方法。随着地表
复杂区地震勘探的发展，起伏地表地震波数值模拟技术受到9]运用高阶差分法，了越来越多的关注和重视。董良国等[8’通过交错网格技术，对一阶速度一应力弹性波方程进行了数值求解，并进行了算法稳定性分析。孙若昧等[1们采用多阶振型和有限差分联立的混合法，模拟了1976年唐山地震所Yang等[11]提出引起的北京西集一郎府地区的剪切波运动。
一种基于矢量和矩阵在二维各向异性介质中应用的快速有限差分方法，并碍到了稳定性方程。殷文等n胡采用25点优化差分算子，再根据最优化理论求取的优化系数，建立了频率空间域中弹性波方程的差分格式，有效地克服了常规差分算子的数值频散。王一博等[1朝采用紧集正交小波基对空间域进行多尺度离散，采用二阶精度有限差分算子对时域离散，推导得到了多尺度有限差分方法正演模拟的递推公式，并实现了相应的波传播过程的数值模拟。
有限元法也是偏微分方程的数值解法之一。Lysmer和Drake[14]最早将有限元法应用于地震波数值模拟。Seron等[15d63给出了弹性波传播的有限元数值模拟方法；Padovani等‘”]研究了地震波数值模拟的低阶和高阶有限元方法；Sarma等n81给出了弹性波传播有限元数值模拟的无反射边界条件。张美根等Ⅱ93研究了各向异性弹性波有限元正演系统的精度和效率问题，提出了一种透射加衰减的组合人工边界方案(吸收边界条件)。杨顶辉等口叩基于双
相各向异性介质模型，推导了双相各向异性介质中弹性波传播的动力学方程及其Galerkin变分方程和有限元运动方程，对双相PTL介质和双相各向同性介质中的弹性波传播进行了数值模拟。
伪谱法是偏微分方程的另一种数值解法，它最早由Kreiss和Oliger[z妇提出。进入上世纪90年代之后，该方法有了飞跃式的发展。石玉梅[223给出了流体饱和多孔隙介质中弹性波传播数值模拟的伪谱法。张文生等‘231用伪谱法进行了二维横向各向同性介质波动方程的正演模拟，特别Takashi等阻]首次针对是对边界吸收问题作了有效的处理。
伪谱法提出了反周期扩展边界方法；Takenaka和王彦宾等瞳“263利用伪谱法分别计算了球对称全球模型和具有垂向速度梯度的沉积盆地模型中地震波的传播问题。之后不久，王彦宾和Takenaka等乜71利用不连续网格傅立叶伪谱多域方法模拟了区域地球模型中弹性波的传播，接下来王彦宾等利用伪谱法模拟了二维柱坐标下全地球模型中地震波的传播。赵志新等[2盯给出了非均匀介质中地震波传播数值模拟的错格实数傅立叶伪谱法；赵景霞等口们利用多块映射和超限插值技术将直角坐标系下的曲界面变换成曲坐标系下的规则界面，在曲坐标系下利用伪谱法模拟波场；张丽琴等给出了三维离散介质中地震波传播数值模拟的伪谱法。
谱元法是一种新的波动方程数值解法，它首先由
Patera[3胡在流体动力学研究中提出。Pri010和Seriani[3刀首先将谱元法用于地震波传播的数值模拟。Komatitsch[341采用拉格朗日插值多项式的谱元法对大尺度地质模型进行了三维地震波场数值模拟，首次得到了地震应用中的对角质量矩阵，从而得到非常简单的显式时间差分方案和有效的并行实现方案。Chaljub[353首先将谱元法用于全球地震波传播的数值模拟；Capdeville等[36删将谱元法与基于球谐函数展开后正常振型求和的形式解方法相结合数值模拟了全球尺度的弹性波传播；Komatitsch等‘38]将谱元法推广到了二维介质中三角形网格单元的弹性波数Komatitsch和Tromp[391在谱元法中采用了适用值模拟；
于弹性动力学方程变分公式的完美匹配层吸收边界条件。谱元法的这些最新发展趋势表明该方法是地震波数值模拟的重要工具，在将来的应用中具有巨大的潜力，但在方法论上还不十分完善。
积分方程法是建立在波动方程的积分表达基础上的，其Bakamjian[4阳给出了三维地震波理论基础是惠更斯原理。
传播数值模拟的边界积分方程法；符力耘和牟永光[413提出了弹性波正演模拟的边界元法。之后，符力耘等n2]提出了非线性Fredh01m积分方程的正演问题。接着符力耘[43]给出了含起伏地表的广义Lipmann—Schwinger积分方程的数值模拟方法。