武汉理工大学《MATLAB原理与应用》课程设计
率响应Ha(jw)，结果存于H向量中。向量B和A分别为模拟滤波器系统()aHs的分子和分母多项式系数。
[H,w]=freqs(B,A,w) 计算出M个频率点上的频率响应存于H向量中，M个频率存放在向量w 中。freqs函数自动将这M个频点设置在适当的频率范围。默认w和M时freqs自动选取200个频率点计算。不带左端输出向量时，freqs函数将自动绘出幅频和相频曲线。
1.3滤波器的介绍
1.3.1滤波器功能及分类
滤波器主要功能是对信号进行处理，保留信号中的有用成分，去除信号中的无用成分。其按处理的信号可分为数字滤波器（Digital Filter,DF）和模拟滤波器（AnalogFilter,AF），按频域特性分为低通、高通、带通、带阻滤波器，按时域特性可分为有限长冲激响应（FIR）滤波器和无限长冲激响应（IIR）滤波器。
1.3.2模拟滤波器设计理论
模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟低通滤波器的设计原型可供选择，如巴特沃斯（Butterworth）滤波器、切比雪夫（Chebyshev）滤波器、椭圆（Ellips）滤波器、贝塞尔（Bessel）滤波器等。这些滤波器各有特点，巴特沃斯滤波器具有通带内最平坦且单调下降的幅频特性；切比雪夫滤波器的幅频特性在通带或阻带内有波动，可以提高选择性；贝塞尔滤波器通带内有较好的线性相位特性；而椭圆滤波器的选择性相对前三种是最好的。 模拟低通滤波器的设计是最基本的，而高通、带通、带阻滤波器则可利用频率转换的方法由低通滤波器映射而得到。模拟滤波器的设计是根据一组设计规范来设计模拟系统函数Ha(s)，使其逼近某个理想滤波器的特性。其中可以由幅度平方函数确定系统函数。
下面介绍两种常用的低通滤波器特性。一般以低通滤波器为基础来讨论逼近函数，而高通、带通、带阻滤波器则可用变换方法有低通滤波器映射而得到。一种是巴特沃斯低通逼近，另一种是切比雪夫低通逼近。本设计中选用第一种方法巴特沃斯低通逼近。
2
武汉理工大学《MATLAB原理与应用》课程设计
由模拟低通滤波器系统函数确定模拟高通滤波器系统函数的方法如下：
(1)定低通系统函数HLP(s)，其参考角频率?c（一般为截止频率）由高
通参考角频率（一般为截止频率）?c选定，一般都选?c=1的归一化原型低通滤波器；
(2)所得到的HLP(s)中代入变换关系式s??j?c?cp中，得到高通系统函数
HHP(P)?HLP(s)s??c?c （1）
p故模拟高通滤波器的实现可由模拟低通滤波器的归一化原型再经频率变换得到。
1.3.3数字滤波器介绍
数字滤波器是在模拟滤波器的基础上发展起来的，从结构上看，数字滤波器可以分内递归型（IIR）与非递归型（FIR）两大类。与模拟滤波器之间存在着一些重要的差别。相比起来，数字滤波器具有精度高、稳定性好、设计灵活、不存在阻抗匹配、便于大规模集成和可以实现多维滤波等优点。在一般情况下，数字滤波器是一个线性非移变系统。从频域特性上看，它与模拟滤波器一样，有低通、高通、带通和带阻之分。但在时域的实现方法与方式上，它们是完全不同的两类系统。
数字滤波器(digital filter)是由数字乘法器、加法器和延时单元组成的一种装置。其功能是对输入离散信号的数字代码进行运算处理，以达到改变信号频谱的目的。由于电子计算机技术和大规模集成电路的发展，数字滤波器已可用计算机软件实现，也可用大规模集成数字硬件实时实现。数字滤波器广泛用于数字信号处理中，如电视、VCD、音响等。 按照滤波电路的工作频带为其命名：设截止频率为fp，频率低于fp的信号可以通过，高于fp的信号被衰减的电路称为低通滤波器，频率高于fp的信号可以通过，低于fp的信号被衰减的电路称为高通滤波器；而带通吗，就是频率介于低频段截止频率和高频段截止频率的信号可以通过的电路。
2 FIR数字滤波器设计原理
FIR滤波器即有限长冲激响应滤波器，突出优点是：系统总是稳定的，易于
3
武汉理工大学《MATLAB原理与应用》课程设计
实现线性相位、允许设计多通带（或多阻带）滤波器，但与IIR滤波器相比，在满足同样阻带衰减的情况下需要的阶数较高，滤波器的阶数越高，占用的运算时间越多，因此在满足指标要求的情况下应尽量减少滤波器的阶数。
FIR滤波器的基本结构可以理解为一个分节的延时线，把每一节的输出加权累加，可得到滤波器的输出，FIR滤波器的冲激响应h(n)是有限长的，数字上M阶FIR滤波器可以表示为：
y(n)?h(i)x(n?i?0M?1?i) （2）
其系统函数为：
H?z??M?1?0h?n?z?n?n （3）
在自适应处理、数据通信等领域中往往要求信号在传输过程中不能有明显的相位失真，FIR滤波器可以做到线性相位满足此要求。FIR滤波器实质上是一个分节的延迟线，把每一节的输出加权累加，得到滤波器的输出。对于FIR滤波器的单位脉冲响应h(i)只要满足以下两个条件之一，则为线性相位滤波器。线性相位的FIR滤波器具有中心对称的特性，其对称中心在N/2处。
h(i) = h(N-1-i) h(i) = -h(N-1-i)
偶对称 （4） 奇对称 （5）
FIR滤波器的设计问题实质是确定所满足要求的转移序列或脉冲响应的常数的问题，设计方法主要有窗函数法、频率取样法和等波纹最佳逼近法等。
3 FIR数字滤波器设计方法
3.1窗函数法
窗函数法就是设计FIR数字滤波器的最简单也是最常用的方法。它在设计FIR数字滤波器中有很重要的作用，正确的选择窗函数可以提高设计数字滤波器的性能，或者在满足设计要求的情况下，减少FIR滤波器的阶次。
各种窗函数的性能比较见表1，在设计FIR滤波器的过程中可以根据要求选择合适的窗函数：
4
武汉理工大学《MATLAB原理与应用》课程设计
表1 各种窗函数的性能比较
窗函数 矩形窗 三角窗 汉宁窗 海明窗 布拉克曼窗 凯瑟窗 切比雪夫窗
第一旁瓣相对于主瓣宽 主瓣衰减（dB） -13 -25 -31 -41 -57 可调 可调 4π/N 8π/N 8π/N 8π/N 12π/N 可调 可调 阻带最小衰减（dB） 21 25 44 53 74 可调 可调 3.2频率取样法
窗函数设计FIR数字滤波器是从时域出发，把理想的滤波器的单位取样响应Hd(n)用合适的窗函数截短成为有限长度的H(n)，并使H(n)逼近理想的Hd(n)，以实现所设计的滤波器的频率响应Hd(ejw)逼近与理想滤波器的频率响应Hd(ejw)。
一个有限长的序列，如果满足频率采样定理，可以通过频谱的有限个采样点的值被准确的得以恢复。
设理想滤波器的频率响应是Hd(ejw)，它是连续频率w的周期函数。对其抽样，使每一个周期有N个抽样值，再对它做IDFT，可得到N点的单位抽样序列Hd(n)，即：
h(n)?1N?1?0NHd(k)e?kj2?Nnk，n=0，1，2，????，N-1 （6）
将h(n)作为所设计的滤波器的单位冲激响应，这样就可以求出该滤波器的传输函数，即：
H(z)?N?1?0h(n)z?n?n （7）
当然H(z)也可以用Hd(k)来表示，即：
H(z)?1N?1?0NHd(k)?e?nk?0N?1j2?Nz?n （8）
5
武汉理工大学《MATLAB原理与应用》课程设计
经推导，有：
H(z)?1N?1?0NHd(k)?n1?z?N1?ej2? （9）
Nz?1由此得出的滤波器，其频率响应在l=mk的抽样点上严格的等于所希望的值Hd(k)，而在l≠mk的点上，H(ejw)则由内插函数的插值决定。所以这种滤波器的设计方法被称之为频率抽样法，该内插函数是：
?j(N?1)?S(w,k)?eNsin[N(w?2?k/N)/2] （10）
Nsin[(w-2?k/N)/2]在频率抽样法中指定Hd(k)要比窗函数法中指定Hd(ejw)复杂。 Hd(k)指定的原则是： 1、
在通带内，可令|Hd(k)|=1,阻带内|Hd(k)|=0，且在通带内赋给Hd(k)相位函数；
2、 3、
指定的Hd(k)应保证 h(n)是实数；
由抽样序列h(n)求出的Hd(ejw)应具有线性相位。
为保证所设计的滤波器具有线性相位，必须对频率采样值进行约束。 有以下四种情况： 1） 2） 3） 4）
抽样序列h(n)偶对称，N为奇数。 抽样序列h(n)偶对称，N为偶数。 抽样序列h(n)奇对称，N为奇数。 抽样序列h(n)奇对称，N为偶数。
对于理想滤波器的频率响应Hd(ejw)，应根据第一个采样点的不同，可分为两种采样方法：
方法1：第一个采样点在w=0处 1）
N为奇数
1若理想滤波器的频率响应Hd(ejw)不存在相移时，即设计Ⅰ型FIR滤波器。 ○
2若理想滤波器的频率响应Hd(ejw)存在π/2相移时，即设计Ⅲ型FIR滤波○器。
2）
N为奇数
6