武汉理工大学《MATLAB原理与应用》课程设计
1若理想滤波器的频率响应Hd(ejw)不存在相移时，即设计Ⅱ型FIR滤波器。 ○
2若理想滤波器的频率响应Hd(ejw)存在π/2相移时，即设计Ⅳ型FIR滤波○器。
方法2：第一个采样点在w=π/N处 1）
N为奇数
1若理想滤波器的频率响应Hd(ejw)不存在相移时，即设计Ⅰ型FIR滤波器。 ○
2若理想滤波器的频率响应Hd(ejw)存在π/2相移时，即设计Ⅱ型FIR滤波○器。
2）
N为偶数
1若理想滤波器的频率响应Hd(ejw)不存在相移时，即设计Ⅱ型FIR滤波器。 ○
2若理想滤波器的频率响应Hd(ejw)存在π/2相移时，即设计Ⅳ型FIR滤波○器。
4 频率采样法实际FIR高通滤波器
4.1设计原理
4.1.1重构FIR的单位抽样响应
根据频率抽样定理，有N个频率抽样点可以唯一确定h(n)，即对H(k)进行IDFT变换：
h(n)?1N?1?0NH(k)e?kj2?Nnk，n=0，1,2，??，N-1 (11)
4.1.2重构系统函数
H(z)?N?1?0h(i)z?nN?1n?0?n
j2?=??1???NN?1?0H(k)e?kNnk??n?z ??7
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?N?1j2?nk?n?=?H(k)??eNz? Nk?0???n?0?1N?1=
1N?1?0N1H(k)?kN?11?z?N1?ej2?
Nnkz?1(WN?e?j2?1?z?N=?H(k) Nk?01?WN?Kz?1N) （12）
4.1.3 FIR的频率响应
将z=ejw代入H(z)表达式可得：
H（e）?jw1N?1N?kN?1H(k)(1?e?jwN)1?ej2?
?0Nnk?e?jw =
1N?kH(k)sin(sin[(w?wN2)?02?ke?j(N?12W?k?2)
N)/2]?k(ejw) （13） =?H(k)k?0N?1其中，?k(ejw)?1N?1N?kH(k)sin(sin[(w?2?wN2)?02?ke?j(N?12W?k?)N为大家所知的内插
N)/2]函数，分析?k(ejw)可知，当w?j2?kNi，i=0,1,2，??，N-1时（采样点）有：
?k(eN?1,i?k)??
?0,i?ki=0,1,2，??，N-1 （14）
这说明，重构的频率响应H(ejw)在采样上严格等于H(k)，而在采样点之间，频率响应则由加权的内插函数延伸叠加而成。
4.1.4 线性相位的约束条件
以h(n)为偶对称，N为奇数的情况进行分析。 1）
FIR滤波器的频率响应具有线性相位的一般表达式
当h(n)为偶对称，N为奇数时，则
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H(e)?H(w)e而且幅度函数H(w)应为偶对称，即
jw?j(N?12)w （15）
H(w)?H(2??w) （16）
2）
采样点H(k)具有线性相位的约束条件： 2?jk2?NH(k)?H(e)?H(k)ej?k?Hkej?k （17）
N2?其中，Hk?H(，θk表示其相角。因k)表示采样值的模（纯标量）
N此，在采样点上具有线性相位的条件是：
?k??N?12?1?k??k?(1?) （18）
2NN而且，Hk必须满足偶对称，即
Hk?HN?k （19）
4.2设计步骤
1.根据指标要求，画出频率采样序列的图形； 2.根据|Hk|的对称特点，可以使问题得以简化； 3.根据线性相位的约束条件，求出?k； 4.将H(k)?Hkej?k代入FIR滤波器的频率响应表达式；
5.有Hk的表达式画出实际频率响应。
5 MATLAB环境下设计FIR数字高通滤波器
5.1设计要求
1. 在数字信号处理平台上（PC机﹑MATLAB仿真软件系统）进行软件仿真设计，并进行调试和数据分析。
2. 利用MATLAB仿真软件系统结合频率取样法设计一个数字高通FIR滤波器。
3. 性能指标如下：阻带截止频率0.5π，通带截止频率0.6π，阻带衰减不
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小于30dB，通带衰减不大于1dB。
5.2 FIR数字高通滤波器程序设计
基于频率采样法的FIR数组高通滤波器程序如下： N=33;%采样点
wc=3*pi/5;%通带截止频率
N1=fix(wc/(2*pi/N));%阻带上采样点 N2=N-2*N1;%通带上采样点
A=[zeros(1,N1),ones(1,N2),zeros(1,N1)]; theta=-pi*[0:N-1]*(N-1)/N;%线性相位约束条件 H=A.*exp(j*theta);%频率采样 h=real(ifft(H));%傅里叶逆变换 v=1:N; figure(1); subplot(211) plot(v,A,'*'); title('频率采样'); ylabel('H(k)');
axis([0,fix(N*1.1),-0.1,1.1]); subplot(212)
stem(v ,h);title(‘脉冲响应’);ylabel('h(n)'); axis([0,fix(N*1.1),min(h)*1.1,max(h)*1.1]); M=5000; nx=[1:N];
w=linspace(0,pi,M);%0~π范围等间隔 X=h*exp(-j*nx'*w);%求取频率响应 figure(2);
plot(w./pi,abs(X),'k');xlabel('\\omega/\\pi');ylabel('|Hd(w)|'); title('幅度响应');axis([0,1,-0.1,1.3]);
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figure(3);
plot(w./pi,20*log10(abs(X)),'k');title(‘幅度特性’); xlabel('\\omega/\\pi');ylabel('dB');axis([0,1,-80,10]);
5.3调试结果
图1 理想高通滤波器频率采样情况及其脉冲响应
分析：从频率抽样样本及其脉冲响应来看，抽样点的选择满足线性相位的条件，即在0~2π上等间隔采样33个点，满足对于高通和带阻滤波器，N只能取奇数的要求。同时，采样点的选取9个0点，15个1点，9个0点，这样在2π的区间上在π的附近就是通带，满足高频滤波器频带处于π的奇数倍附近。
图2 高通FIR滤波器的幅频响应曲线
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