第2章 力矩与力偶
2.1
是度量力使物体转动效果的物理量。
力使物体产生转动效应与哪些因素有关呢?现以扳手拧螺帽为例，如图2.1所示。手加在扳手上的力F，使扳手带动螺帽绕中心O转动。力F越大，转动越快；力的作用线离转动中心越远，转动也越快；如果力的作用线与力的作用点到转动中心O点的连线不垂直，则转动的效果就差；当力的作用线通过转动中心O时，无论力F多大也不能扳动螺帽，只有当力的作用线垂直于转动中心与力的作用点的连线时，转动效果最好。另外，当力的大小和作用线不变而指向相反时，将使物体向相反的方向转动。在建筑工地上使用撬杠抬起重物，使用滑轮组起吊重物等等也是实际的例子。通过大量的实践总结出以下的规律：力使物体绕某点转动的效果，与力的大小成正比，与转动中心到力的作用
线的垂直距离d也成正比。这个垂直距离称为力臂，转动中心称为力矩中心(简称矩心)。力的大小与力臂的乘积称为力F对点O之矩(简称力矩)，记作mo(F)。计算公式可写为
mo(F)??F?d (2.1)
式中的正负号表示力矩的转向。在平面内规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩为正；力使物体作顺时针方向转动时，力矩为负。因此，力矩是个代数量。
力矩的单位是N?m或kN?m。
由力矩的定义可以得到如下力矩的性质：
(1)力F对点O的矩，不仅决定于力的大小，同时与矩心的位置有关。矩心的位置不同，力矩随之不同；
(2)当力的大小为零或力臂为零时，则力矩为零；
(3)力沿其作用线移动时，因为力的大小、方向和力臂均没有改变，所以，力矩不变。 (4)相互平衡的两个力对同一点的矩的代数和等于零。
力对点的矩
从实践中知道，力对物体的作用效果除了能使物体移动外，还能使物体转动，力矩就
O点的力矩。 例2.1 分别计算图2.2中F1、F2对O点的力臂是h和l2。 解 从图2–2中可知力F1和F2对
1
故mo(F)=±F1l1= F1l1sin300 =49×0.1×0.5=2.45N.m
mo(F)=±F2l2=－F2l2=－16.3×0.15=2.45N.m
必须注意：一般情况下力臂并不等于矩心与力的作用点的距离，如F1的力臂是h,不是l1。
2.2 合力矩定理
在计算力对点的力矩时，有些问题往往力臂不易求出，因而直接按定义求力矩难以计算。此时，通常采用的方法是将这个力分解为两个或两个以上便于求出力臂的分力，在由多个分力力矩的代数和求出合力的力矩。这一有效方法的理论根据是合力矩定理，即：
如果有n个平面汇交力作用于A点，则平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩，等于力系中各分力对同一点力矩的代数和：
即 mo(FR)=mo(F1)+ mo(F2) +?+ mo(Fn) =∑mo(F) (2.2) 称为合力矩定理。
合力矩定理一方面常常可以用来确定物体的重心位置；另一方面也可以用来简化力矩的计算。这样就使力矩的计算有两种方法：在力臂已知或方便求解时,按力矩定义进行计算；在计算力对某点之矩，力臂不易求出时，按合力矩定理求解，可以将此力分解为相互垂直的分力，如两分力对该点的力臂已知，即可方便地求出两分力对该点的力矩的代数和，从而求出已知力对该点矩。
例 2.2 计算图2.3中F对O点之矩。 解 F对O点取矩时力臂不易找出。将F分解成互相垂直的两个分力FX、FY，它们对O点的矩分别为
mo(FX)=FXb=Fbsin?
mo(FY)= FYa=Facos? 由合力矩定理
mo(F)= mo(FX)+ mo(FY)= Fbsin?+ Facos?
例 2.3 槽形杆用螺钉固定于点O，如图2.4（a）所示。在杆端点A作用一力F，其大小为400N，试求力F对点O的矩。
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解 方法1(按力矩定义计算)：本题中力F的大小和方向均已知，要计算力F对点O的矩，关键是找出力臂的长度。为此，自矩心O作力F作用线的垂线OC，线段OC就是力臂d，如图2.4（b）所示。
由图2.4（b）中的?ABO可得 tan??10?6?0.333 12??18.43
AO?BO4??12.65cm sin?0.3162而在?ACO中，??60?18.43?41.57，所以
d?AOsin??12.65sin41.57?8.39cm
于是力F对点O的矩为
mo(F)=Fd=－400×83.9=33560Nmm
“一”号表示力F将使槽形杆绕点O有顺时针方向转动的趋势。
方法2(按合力矩定理计算)：将力F分解为水平力FX和铅直力FY，如图2.4（c）所示。由合力矩定理知，力F对点O的矩就等于分力FX、FY对同一点O的矩的代数和，即
mo(F)= mo(FX)+ mo(FY) =－FX×120+FY×40
=－400sin600×120+400cos600×40
=－41560+8000=－33560Nmm
可见两种方法结果完全一样。但在方法1中，求力FP对点O的矩需要通过几何关系才能找出力臂，计算比较麻烦；而方法2用合力矩定理计算则比较简便。在实际计算中，常用合力矩定理来求力矩或合力作用线的位置。
3
2.3
2.4 力偶和力偶矩
力偶及其基本性质
在生产实践和日常生活中，为了使物体发生转动，常常在物体上施加两个大小相等、方向相反、不共线的平行力。例如钳工用丝锥攻丝时两手加力在丝杠上(图2.5所示)。
当大小相等、方向相反、不共线的两个平行力F和F作用在同一物体时，它们的合力FR?0，即F和F没有合力。但因二力不共线，所以也不能平衡。它们的作用效果是使物体发生转动。力学上把这样大小相等、方向相反、不共线的两个平行力叫力偶。用符号(F,F)表示。两个相反力之间垂直距离d叫力偶臂(如图2.6所示)，两个力的作用线所在的平面称为力偶作用面。力偶不能再简化成比力更简单的形式，所以力偶与力一样被看成是组成力系的基本元素。
如何度量力偶对物体的作用效果呢?由实践可知，组成力偶的力越大，或力偶臂越大，则力偶使物体转动的效应越强；反之，就越弱。这说明力偶的转动效应不仅与两个力的大小有关，而且还与力偶臂的大小有关。与力矩类似，用力偶中一个力大小和力偶臂的乘积并冠以适当正负号(以示转向)来度量力偶对物体的转动效应，称为力偶矩，用m表示。即
m??Fd (2.3) 使物体逆时针方向转动时，力偶矩为正；反之为负。如图2.6所示。所以力偶矩是代数量。力偶矩的单位与力矩的单位相同，常用牛顿·米(N?m)。
通过大量实践证明，度量力偶对物体转动效应的三要素是：力偶矩的大小、力偶的转向、力偶的作用面。不同的力偶只要它们的三要素相同，对物体的转动效应就是一样的。
///2.4.1 力偶的基本性质
性质1 力偶没有合力，所以力偶不能用一个力来代替，也不能与一个力来平衡。 从力偶的定义和力的合力投影定理可知，力偶中的二力在其作用面内的任意坐标轴上的投影的代数和恒为零，所以力偶没有合力，力偶对物体只能有转动效应，而一个力在一
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般情况下对物体有移动和转动两种效应。因此，力偶与力对物体的作用效应不同，所以其不能与一个力等效，也不能用一个力代替，也就是说力偶不能和一个力平衡，力偶只能和转向相反的力偶平衡。
性质2 力偶对其作用面内任一点之矩恒等于力偶矩，且与矩心位置无关。 图2.7所示力偶(F,F)，其力偶臂为d，逆时针转向，其力偶矩为m?Fd，在其所在的平面内任选一点O为矩心，与离F的垂直距离为x，则它到F的垂直距离为x?d。显然，力偶对O点的力矩是力F与F?分别对O点的力矩的代数和。其值为：
//?) mO(F,F?F(?d?x)?F?x?Fd m由于O点是任意选取的，所以性质2已得证。
性质3 在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等，转向相同，则这两个力偶等效。称为力偶的等效条件。
从以上性质可以得到两个推论。
推论1 力偶可在其作用面内任意转移，而不改变它对物体的转动效应，即力偶对物体的转动效应与它在作用面内的位置无关。
F?)与（F2，F?）只要它们的力偶矩例如图2.8(a)作用在方向盘上的两上力偶(F1，
大小相等，转向相同，作用位置虽不同，转动效应是相同的。
推论2 在力偶矩大小不变的条件下，可以改变力偶中的力的大小和力偶臂的长短；而不改变它对物体的转动效应。
例如图2.8(b)所示，工人在利用丝锥攻螺纹
F?)或（F2，F?）时，作用在螺纹杠上的(F，1，
虽然d1和d2不相等，但只要调整力的大小，使力偶矩Fd则两力偶的作用效果是相同11?F2d2，的。
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