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一个运算，即乘法运算，满足封闭性与结合律，即集合中的任意两个元素运算后仍在这个集合内，且在这个集合内有单位元与逆元的存在．也就是公认的定义的群:一个非空集合G对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，这种运算满足:
1、封闭性，即?a,b?G,都有ab?G; 2、结合性，即?a,b,c?G,都有a(bc)?(ab)c; 3、存在单位元e，使?a?G都有ea?ae?a;
4、对于?a?G，存在唯一的逆元a?1，使得a?1a?aa?1?e．
第二章 群的基本概念
2.1 群的定义
2.1.1 群的等价定义及其证明
对于群的定义有很多个，下面就给出群的几个等价定义及其证明．
定义2.1.1.1 (群的第一定义) 设一个非空集合G定义了一个叫做乘法的代数运算，
且满足:
(1)乘法封闭，即?a,b?G,都有ab?G;
(2)结合律成立，即?a,b,c?G,都有a(bc)?(ab)c; (3)?a,b?G，方程ax?b和ya?b在G里都有解， 则称G对于这个乘法的代数运算作成一个群．
定义2.1.1.2 (群的第二定义) 设一个非空集合G定义了一个叫做乘法的代数运算，
且满足:
(1)乘法封闭，即?a,b?G,都有ab?G;
(2)结合律成立，即?a,b,c?G,都有a(bc)?(ab)c;
(3)在G中至少存在一个左单位元e，使得?a?G都有ea?a; (4)G中的每一个元a至少都存在一个左逆元a?1，使得a?`1a?e, 则称G对于这个乘法的代数运算作成一个群．
定义2.1.1.3 (群的第三定义) 设一个非空集合G定义了一个叫做乘法的代数运算，
且满足:
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(1)乘法封闭，即?a,b?G,都有ab?G;
(2)结合律成立，即?a,b,c?G,都有a(bc)?(ab)c;
(3)在G中至少存在一个右单位元e，使得?a?G都有ae?a; (4)G中的每一个元a至少都存在一个右逆元a?1，使得aa?1?e, 则称G对于这个乘法的代数运算作成一个群．
定义2.1.1.4 (群的第四定义) 设一个非空集合G定义了一个叫做乘法的代数运算，
[4]
且满足:
(1)乘法封闭，即?a,b?G，都有ab?G;
(2)结合律成立，即?a,b,c?G，都有a(bc)?(ab)c;
(3)在G中至少存在一个单位元e，使得?a?G，都有ea?ae?a; (4)G中的每一个元a至少都存在一个逆元a?1，使得a?1a?aa?1?e, 则称G对于这个乘法的代数运算作成一个群． 命题2.1.1.1 群的上述四个定义是相互等价的.
证明: 1) 第一定义与第四定义等价. 首先证明第一定义可以推导出第四定义.
由第一定义知第四定义中(1)，(2)成立.现在来证明第四定义中(3)，(4)成立.事实上，设b?G，由第一定义中(3)知方程yb?b有解，设其解y?e，即方程eb?b成立．
可以证明e为G中的单位元.事实上，由第一定义中(3)知方程bx?a在G中有解，设其解为c，即bc?a,于是
ea?a(bc)?(eb)c?bc?a. 又由第一定义中(3)知方程yb?b在G中有解，设其解为e?，即e?b?b，于是 ae??(bc)e??c(be?)?cb?bc?a. 从而
ea?ae??a，ee??e?,ee??e，
故e?e?.即?a?G都有ea?ae?a.即G中存在单位元，第四定义中(3)成立．
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下证G中有逆元．
由第一定义中(3)知方程ax?e与ya?e在G中有解，设其解为x?a?,y?a??，即 aa??e,a??a?e. 从而
a??ea??(a??a)a??a??(aa?)?a??e?a?? 于是aa??a??a?e，即第四定义中(4)成立[5]． 再证第四定义可以推导出第一定义.
对?a,b?G,第四定义中(4)知存在a??G，使得aa??a?a?e.设x?a?b，且x?G，则
ax?a(a?b)?(aa?)b?eb?b.
所以ax?b.即ax?b在G中有解x?a?b.同理可证ya?b在G中有解y?ba?.故第一定义等价于第四定义.
2) 证明第一定义与第二定义等价.
由第一定义中(3)知方程yb?b在G中有解，设解y?e，则 eb?b ，ea?a. 又因为bx?a在G中有解，设解为x?c，有bc?a.从而
ea?e(bc)?(eb)c?bc?a,
即在G中至少存在一个左单位元e，使得对任一a?G,都有ea?a.得证．
现来证有左逆元存在．由第一定义中(3)知方程ya?e有解，解为y?a?.即a?a?e.从而第一定义等价于第二定义． 3) 证明第二定义等价第三定义.
首先证明左单位元也是右单位元.
设e是群G的左单位元，?a?G,有a?1,a??G，使a?1a?e,a?a?1?e,从而
ae?e(ae)?a?a?1(ae)?a?(a?1a)e?a?ee?a?e?a?(aa)?(a?a)a?ea?a?1?1
即左单位元也是右单位元[6]．
下证群中元素a的左逆元a?1也是a的右逆元.根据第二定义中(4)有a?1a?e.设
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a?a?1?e，于是
aa?1?e(aa?1)?a?a?1(aa?1)?a?(a?1a)a?1?a?ea?1?a?a?1?e. 从而a?1a?aa?1?e,即左逆元等于右逆元[7]．故第二定义等价与第三定义． 4) 证明第三定义与第四定义等价.
因为已证明第一定义等价第四定义，第一定义等价第二定义，第二定义等价第三定义，所以显然第三定义等价第四定义． 因此，群的四个定义都相互等价．
例2.1.1.1 设G是全体整数的集合，则G对于普通加法来说作成一个群． 解:(1)两个整数相加还是一个整数，满足封闭性．
(2)?a,b,c?整数，a?(b?c)?(a?b)?c，满足结合性．
(3)?a,b?整数时，a?x?b,y?a?b都有整数解． 例2.1.1.2 设G??a,b?，则a,b对于
?
运算来说作成一个群．
a a a b b b b a 解:(1)a?a?a,a?b?b,b?a?b,b?b?a，任意两个数相乘仍在G内，满足封闭性． (2)?a,b?G，(a?a)?a?a?a?a,a?(a?a)?a?a?a，(a?a)?a?a?(a?a) (a?a)?b?a?b?b,a?(a?b)?a?b?b，(a?a)?b?a?(a?b) (a?b)?a?b?a?b，a?(b?a)?a?b?b，(a?b)?a?a?(b?a) (a?b)?b?b?b?a，a?(b?b)?a?a?a，(a?b)?b?a?(b?b) (b?a)?a?b?a?b，b?(a?a)?b?a?b，(b?a)?a?b?(a?a) (b?a)?b?b?b?a，b?(a?b)?b?b?b，(b?a)?b?b?(a?b) (b?b)?a?a?a?a，b?(b?a)?b?b?a，(b?b)?a?b?(b?a) (b?b)?b?a?b?b，(b?b)?b?a?b?b，(b?b)?b?b?(b?b) 所以，满足结合律．
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(3)?a,b?G，方程ax?b,ya?b在G都有解． 例2.1.1.3 集合?0?在数的普通加法之下做成一个群.
例2.1.1.4 所有正有理数的集合在数的乘法之下作成一个群. 例2.1.1.5 全体n阶可逆矩阵作成一个群．
定理2.1.1.1 设G是一个群，则
(1)G中的单位元存在且唯一.
(2)G中的任意元素的逆元存在且唯一. (3)G中满足消去律.
证明:(1)先证存在性，前面在证第一定义等价第四定义时，已经证明了存在单位元,即单位元存在已证明．现再证唯一性，设e和e?是群G的单位元，则有e?ee??e?,因此e?e?, 唯一性得证．
(2) 存在性已证.现证唯一性，设a?,a??都是群G中的a的逆元，则有 a??a?e?a?(aa??)?(a?a)a???ea???a?? 因此a??a??.唯一性得证．
(3)设ax?ax?，同时在等式的两边左乘a?1，于是 a?1(ax)?a?1(ax?), (a?1a)x?(a?1a)x? .
因为a?1a?e,所以x?x?.同理，由ya?y?a，同时在等式的两边右乘a?1，于是有 (ya)a?1?(y?a)a?1,y(aa?1)?y?(aa?1). 因为 a?1a?e,所以 y?y?. 2.1.2 群的阶及元素的阶
如果一个群的元素的个数是一个有限整数的话，那么这个群就叫做有限群．如果不是，那么就叫做无限群．
定义2.1.2.1(有限群的另一定义) 一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足:
（1）封闭性，即?a,b?G,都有ab?G; （2）结合性，即?a,b,c?G,都有a(bc)?(ab)c;
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