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则称?为群G到群G的一个同态映射．若?为满射是，则称群G与群G同态，用G~G来表示;若?为一一映射时，则?为群G到群G的一个同构映射，这时称群G与群G同构，用G?G来表示．
定理2.5.1[4] 如果群G与G对于一个乘法的代数运算来说同态，那么G也是一个群．
定理2.5.2[4] 设G与G是两个群，则在G到G的一个同态满射之下，G的单位元e的象是G的单位元e，G的元a的逆元a?1的象是a的象的逆元;子群的象是子群，正规子群的象还是正规子群．
定理2.5.3 群G到群G的同态映射?是单射的充分必要条件是，群G的单位元e的逆象只有e.
定理2.5.4(同态基本定理) 假设G与G是两个群，且群G与群G同态，那么这
G?G. NMG 定理2.5.5(第一同构定理) 设N?G,M?G，且N?M，则?，且
NNGGM()()?. NNM个同态满射的核N，N?ker?，N是G的一个正规子群，且
定理2.5.6(第二同构定理) 设H?G,K?G，则(H?K)?H，且
HKH[9]
?. K(H?K)2.6 Sylow子群
我们都知道拉格朗日定理，若G是有限群，H是G的子群，则H是G的因子．但是若果反过来呢？若nG，那G中是不是一定存在n阶子群呢?
定义2.6.1 设G是一个有限群，并且G?ps?m，其中p是质数，s?0是非负整数，且p不整除m，则称G的ps阶子群为G的一个Sylowp?子群.有时也简称
Sylow子群.
定理2.6.1(引理) [10] 任一p?群具有非平凡的中心.
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定理2.6.2(Sylow定理) 设G是有限群，G?ps?m，其中p为素数， 1)设pn/G，则G中必存在pn阶子群，叫G的Sylowp?子群; 2)G中的任意两个Sylowp?子群都在G中共轭，即所有Sylowp?子群 相互共轭;
3)若G中的Sylowp?子群的个数有k个，则k?1?modp?; 4)G中的任意一个p?群包含于一个Sylowp?子群.
第三章 几类特殊的群
3.1 交换群(Abel群)
设G是一个群，若?a,b?G,都满足ab?ba，则G称为Abel群(交换群)．Abel群是具有交换律的群.
定理3.1.1 若群G的每个元都满足方程x2?e，那么G是交换群．
证明: (方法一)因为x2?e，可得出x?1?x.?a,b?G，a?b?G,有
(a?b)2?(a?b)?(a?b)?e，即
(a?b)?(b?a)?a?(b?b)?a?a?b2?a?a?e?a?a2?e (a?b)?(a?b)?(a?b)?(b?a) a?b?b?a 所以G是交换群．
(方法二)对?a,b?G，由x2?e，得x?1?x，又a2?e，b2?e，有 a?1?a，b?1?b成立.对?a?b?G，有(a?b)?1?a?b，故有 a?b?(a?b)?1?b?1?a?1?b?a 因此a?b?b?a, 即G是交换群．
定理3.1.2[7] 设G是一个交换群，G中的所有元素有最大阶m. 则G中每个元素的阶都是m的因数，从而群G中的每个元素都满足方程xn?e.
定理3.1.3[11] 设G是一个群，则G是交换群当且仅当映射G?G，其中
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g?g?1?g?G?是G的一个自同构.
定理3.1.4 设N是G的正规子群，那么
G是交换群的充分必要条件是G?N. N 定理3.1.5[12] 设G是交换群，则a,b是G中的元素，它们的阶分别为m,n，如果
m,n互素，那么ab的阶数为mn.
性质3.1.1 交换群的子群仍是交换群.
性质3.1.2 交换群的任意两个子群的乘积必定为子群. 例3.1.1[13] (1)任何一个数域在加法运算下作成一个交换群.
(2)全体整数集合在加法运算下作成的交换群，叫整数加法群. 例3.1.2 设Uii?Z?是全体i次单位根对普通乘法作成的群，即i次单位根群.令U??Ui，则由于一个m次单位根与一个n次单位根的乘积必是一个mn次单位根，
i?1???所以U对于普通乘法作成一个交换群.
3.2 循环群
设G是群，M是G的子集，则称G的所有包含M的子群的交为由M生成的子群，
记作M，如果M?G，我们称M是G的一个生成系，仅由一个元素a生成的群
G?a叫做循环群.
定理3.2.1 n阶群G是循环群的充分必要条件是G中有n阶元．
证明: 必要性: G?a，G?a?n，知G中有n阶元，至少a?n. 充分性: 对?a?G，G?a?n，则 G??a,a2,a3,?,an?1,e?G
其中G?中有n个互不相同的元，得G?G??a.所以，n阶群G是循环群的充分必要条件是G中有n阶元．
定理3.2.2 循环群的子群仍为循环群．
证明:设H是循环群a的任一子群．若H??e?，那么H为循环群．若H??e?，当am?H时必定就有a?m?H，所以可以设am为H中a的最小正整数幂,于是
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am?H.任取as?H，使s?mq?r,0?r?m,由as，am?H，有ar?as?mq?as?(am)?q?H;但am为H中a的最小正整数幂，故可推出r?0.可知
as?(am)q?am,又H?am,因此H?am, 即子群H也是循环群．
性质3.2.1 由有限群元素的阶是群的阶的因数，可知素数阶群一定是循环群． 性质3.2.1 循环群必是交换群.
3.3 变换群与置换群
定义3.3.1 一个集合A上的若干个一一变换对于规定的乘法作成的一个群叫做这个集合A的一个变换群．
定理3.3.1 一个变换群的单位元一定是恒等变换．
?a?A,???G， 证明:设G是集合A上的双射变换群，?是G的单位元．???????,
a???a????，所以，?是恒等变换. ?a?,即可得 a??a（?是单射）
定理3.3.2[4] 一个集合的所有一一变换作成一个变换群．
证明:设集合A的所有一一变换作成一个变换群G.群G适合群的定义的(1)(2)、(3)、(4)四个条件.
(1)若?1,?2是一一变换，那么?1?2也是一一变换．对任一a?A，因为?2是一一变换，所以a在A里有
?2： a??a?a??
2由?1是一一变换，所以a??在A里有
?1： a???a??a???
1?1?2： a????a???1??2?a??2?a
所以?1?2是A到A的满射.设a?b，那么
a?1?b?1,(a?1)?2?(b?1)?2, a?1?2?b?1?2
所以?1?2是一一变换．
(2)一般的变换都满足结合律，所以一一变换也满足结合律． (3)??G，是群G的单位元，?是一一变换．
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(4)??G，??1是?的逆变换，且??1是?的逆元
?： a?a?
?： a?a?
?1?1 a???1?： a?a??1???a ??a??a
?1????1? ??1??? 所以，G是一个变换群．
定理3.3.3[4] 任何一个群都同变换群同构． 证明:设G是一个群，?x?G，有
?x： G?G
g?g?x
S???a,?b,?c,??，下证S对变换的乘法作成一个变换群.
?： G?S x??x???x?
?是满射：对于?x?S,存在x?G，使得 ??x???x 都有x,y?G,且x?y,
y?x?g?y 又?x??y,有
??x????y? 所以?是单射，?是一一映射． 对任一g?G，g?xy?g??x?y??(g?x)?y?g?x?y?g?x???y?g?x?y，所以可得
?x?y??x?，y??x?y????x???y?.所以?是同态映射．因此，?G,????S,??.所以S是一
个群．
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