微分方程模型
一、如何预测人口的增长
人类社会进入20世纪以来，在科学技术和生产力飞速发展的同时，世界人口也以空前的规模增长，统计数据见表4－1。由表4－1可见，世界人口每增加10亿的时间由100年缩短为十二、三年，人类赖以生存的地球已经携带着它的60亿子民进入了21世纪。
表4－1 世界人口统计数据
年 人口（亿）
1625 5
1830 10
1930 20
1960 30
1974 40
1987 50
1999 60
长期以来，人类的繁殖一直在自发地进行着，只是由于人口数量的迅速膨胀和环境质量的急剧恶化，人们才猛然醒悟，开始研究人类和自然的关系，人口数量的变化规律，以及如何进行人口控制等问题。
认识人口数量的变化规律，建立人口模型，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提。长期以来人们在这方面做了不少工作，下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表4－2给出的近两个世纪的美国人口统计数据，对模型作检验。
表4－2 美国人口统计数据（单位：百万）
年 人口 年 人口
1790 3.9 1900 76.0
1800 5.3 1910 92.0
1810 7.2 1920 106.5
1820 9.6 1930 123.2
1830 12.9 1940 131.7
1840 17.1 1950 150.7
1850 23.2 1960 179.3
1860 31.4 1970 204.0
1870 38.6 1980 226.5
1880 50.2 1990 251.4
1890 62.9 2000 281.4
1.人口指数增长模型（马尔萨斯人口模型）
最简单的人口增长模型是：
记今年人口为x0，k年后人口为xk，年增长率为r，则
k2. , （1） xk?x0(1?r),k?1,?显然，这个公式的基本假设条件是年增长率r保持不变。
二百多年前英国人口学家马尔萨斯（Malthus,1766-1834）调查了英国一百多年的人口统计资料，得出了人口增长率不变的假设，并据此建立了著名的人口指数增长模型。
（1）模型构成
记时刻t的人口为x(t)，当考察一个国家或一个较大地区的人口时，x(t)是一个很大的整数，为了利用微积分这一数学工具，将x(t)视为连续、可微函数。记初始时刻(t?0)的人口为x0，假设人口增长率为常数r，即单位时间内x(t)的增量等于r乘以x(t)。考虑t到t??t时间内人口的增量，显然有
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x(t??t)?x(t)?令?t?0取极限，得到x(t)满足的微分方程 由方程（2）很容易解出
dxdtrx(?)t. t ?rx,x(0?)x0. （2）
x(t)?x0ert ， （3）
r?0时（3）式表示人口将按指数规律随时间无限增长。因此，（3）式称为人口指数增
长模型,也称为马尔萨斯人口模型。
由微分学的理论知，当r?1时， er?1?r.
这样将t以年为单位离散化，由公式（3）就得到了前面所讨论的公式（1），即
tx(1?r),t? x(t)?01?,2. ,由此可见公式（1）只是人口指数增长模型（3）的离散近似形式。
（2）对人口指数增长模型的检验
下面我们应用人口指数增长模型（3）对美国人口的增长进行预测。
首先将模型（3）线性化为
t?) lnx(lnx?0r. t记
? y?lnx(t),al0nx， （4）
则（3）线性化为
t （5） y?a?r. 根据表4－2中数据、及（4）和（5）两式，应用第三单元中线性回归分析的理论，建立了对美国人口的增长进行预测的数学模型
e0 x?6.0450.20t22 . （6）
其中x的单位为百万人，t的单位为10年。
应用预测模型（6）对美国近两个世纪人口的增长进行模拟计算,并与实际人口相比较，结果见表4－3。
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表4－3
年 实际人口 计算人口
年 实际人口 计算人口
1790 3.9 6.0 1900 76.0 55.9
1800 5.3 7.4 1910 92.0 68.4
1810 7.2 9.1 1920 106.5 83.7
1820 9.6 11.1 1930 123.2 102.5
1830 12.9 13.6 1940 131.7 125.5
1840 17.1 16.60 1950 150.7 153.6
1850 23.2 20.30 1960 179.3 188.0
1860 31.4 24.90 1970 204.0 230.1
1870 38.6 30.5 1980 226.5 281.7
1880 50.2 37.3 1990 251.4 344.8
1890 62.9 45.7 2000 281.4 422.1
由表4－3可见，预测模型（6）基本上能够描述19世纪以前美国人口的增长。但是进入20世纪后，美国人口的增长明显变慢了，运用预测模型（6）进行预报不合适了。
历史上，人口指数增长模型与19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据可以很好地吻合，迁往加拿大的欧洲移民后代人口也大致符合这个模型。另外，用它作短期人口预测可以得到较好的结果。显然，这是因为在这些情况下，模型的基本假设――人口增长率是常数――大致成立。
但是长期来看，任何地区的人口都不可能无限增长，即指数模型不能描述、也不能预测较长时期的人口演变过程，这是因为人口增长率事实上是不断地变化着。排除灾难、战争等特殊时期，一般来说，当人口较少时，其增长较快，即增长率较大；人口增加到一定数量后，增长就会慢下来，即增长率变小。看来，为了使人口预测特别是长期预测能更好地符合实际情况，必须修改人口指数增长模型中关于人口增长率是常数这个基本假设。
2．人口阻滞增长模型（Logistic 模型）
分析人口增长到一定数量后增长率下降的主要原因，人们注意到，自然资源、环境条件等因素对人口的增长起着阻滞作用，并且随着人口的增加，阻滞作用越来越大。所谓人口阻滞增长模型就是考虑到这个因素，对人口指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。
（1）模型构成
阻滞作用体现在对人口增长率r的影响上，使得r随着人口数量x的增加而下降。若将r表示为x的函数r(x)，则它应是减函数，于是方程（2）改写为
dxdt?r(x)xx,(0?)x0. （7）
对r(x)的一个最简单的假设是，设r(x)为x的线性减函数，即
r(x)?r?sx (r?0,?s. 0 （8）这里r称为固有增长率，表示人口很少时（理论上是x?0）的增长率。为了确定系数s的意义，引入自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量xm，称为人口容量。当x?xm 28
时人口不再增长，即增长率r(xm)?0，代入（8）式得s?rxm。于是（8）式化为
r(x)?r(?1xxm. ) （9）
（9）式的另一种解释是：增长率r(x)与人口尚未实现部分的比例（(xm?x)xm成正比，比例系数为固有增长率r。
将（9）式代入方程（7）得
dxdt?rx(1?xmx ),x(0?)0x. （10）
xxm方程（10）右端因子rx体现人口自身的增长趋势，因子(1?)则体现了资源和环境对
人口增长的阻滞作用。显然x越大，前一因子越大，后一因子越小，人口增长是两个因子共同作用的结果。方程（10）称为人口阻滞增长模型，也称为Logistic模型。
用分离变量法解方程（10）得
x(t)?1?(xmxmx0?1)e?rt . （11）
方程（10）和模型（11）的图形见图4－1和图4－2。图4－2是一条S形曲线，x的增加是先快后慢。当t??时，x?xm，拐点在x?xm2处。
（2）对人口阻滞增长模型的检验
下面我们应用人口阻滞增长模型（11）对美国人口的增长进行预测。
由于模型（11）不能线性化，因此不能运用第三单元中的线性回归分析理论进行参数估计，我们不用（11）式，而将方程（10）表示为
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dxdtr. （12） ?r?sx,?sxxmdx令y?dt，则（12）式线性化为
x y?r?s. x （13）由表4－2可以直接得到x的数据，而y的数据可根据表4－2中数据运用数值微分的方法算出。在此基础上，应用第三单元中线性回归分析的理论即可估计出模型（13）中参数r和xm，而模型（13）中参数r和xm的估计值，也是模型（11）中参数r和xm的估计值。
运用上述方法，并且仅利用表4－2中1860年至1990年的数据，建立了对美国人口的增长进行预测的数学模型
x?392.08861?101.53e55?0.25t57. （14）
其中x的单位为百万人，t的单位为10年。
应用预测模型（14）对美国近两个世纪人口的增长进行模拟计算，并与实际人口相
比较，结果见表4－4。
表4－4
年 实际人口 计算人口
年 实际人口 计算人口
1770 3.9 3.9 1900 76.0 56.2
1800 5.3 5.0 1910 92.0 69.7
1810 7.2 6.5 1920 106.5 85.5
1820 9.6 8.3 1930 123.2 103.9
1830 12.9 10.7 1940 131.7 124.5
1840 17.1 13.7 1950 150.7 147.2
1850 23.2 17.5 1960 179.3 171.3
1860 31.4 22.3 1970 204.0 196.2
1870 38.6 28.3 1980 226.5 221.2
1880 50.2 35.8 1990 251.4 245.3
1890 62.9 45.0 2000 281.4 266.2
由表4－4可见，用预测模型（14）对美国近两个世纪人口的增长进行模拟计算，除了19世纪中叶到20世纪中叶的拟合效果不很好外，其余部分拟合的都不错。
二、传染病模型
随着卫生设施的改善，医疗水平的提高及人类文明的不断发展，诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到了有效的控制。但是一些新的、不断变异着的传染病毒却悄悄地向人类袭来，20世纪80年代十分险恶的艾滋病毒开始肆虐全球，至今仍在蔓延；2003年春来历不明的SARS病毒突袭人间，给人们的生命财产带来了极大的危害。长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程、分析受感染人数的变化规律、探索制止传染病蔓延的手段等，一直是有关专家关注的一个热点问题。
不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点，弄清这些特点需要相当多的病理知识。我们在这里不可能从医学角度一一分析各种传染病的传播特点，而只能是按照一般的传播机理来建立数学模型。
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