1．模型Ⅰ
这是一个最简单的传染病模型。设时刻t的病人人数x(t)是连续、可微函数，并且每个病人每天有效接触（足以使人致病的接触）的平均人数是常数?。考察t到t??t这段时间内病人人数的增加，于是就有
x(t??t)?x(t)??
x(?t)， tx(t??t)?xt()??x(t).
?t再设t?0时，有x0个病人。并对上式取?t?0时的极限，得微分方程 方程（15）的解为
?t x(t)?x0e. （16）
dxdt ??x,x(0?)x0. （15）
模型（16）表明，随着t的增加，病人人数x(t)无限增长，这显然是不符合实际的。
上述建模失败的原因是：
（1）在病人有效接触的人群中，有健康人也有病人，而其中只有健康人才可以被传染为病人。所以在下面改进的模型中必须区别这两种人。
（2）人群的总人数是有限的，不是无限的。并且随着病人人数的增加，健康人的人数在逐渐减少。因此，病人的人数不会无限地增加下去。
2．模型Ⅱ 模型假设：
（1）在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，既不考虑生死，也不考虑迁移。 （2）人群分为易感染者和已感染者两类，以下简称健康者和病人。并记时刻t这两类人在总人数中所占的比例分别为s(t)和i(t)。
（3）每个病人每天有效接触的平均人数是常数?，?称为日接触率。当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染变为病人。
根据上述假设，每个病人每天可使?s(t)个健康者变为病人。因为病人人数为Ni(t)，所以每天共有?Ns(t)i(t)个健康者被感染。于是?Ns(t)i(t)就是病人人数Ni(t)的增加率，即有
Ndidt??Ns(t)it(. ) （17）
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又因为s(t)?i(t)?1，再记初始时刻(t?0)病人的比例为i0，则
didt. ??i(t)[?1it(i)],?(i0) （18）0方程（18）是Logistic模型，它的解为 i(t)?1?(11i0?1)e??t . （19）
模型（19）和方程（18）的图形见图4－3和图4－4。
由（18）、（19）式及图4－3和图4－4知，第一，当i?这个时刻为
tm???1
12时，?di?达到最大值??，dt?dt?mdi1ln(?1. )i0这时病人增加得最快，可以认为是医院门诊量最大的一天，预示着传染病高潮的到来，?是医疗卫生部门关注的时刻。tm与?成反比，因为日接触率?表示该地区的卫生水平，
越小卫生水平越高。所以改善保健设施，提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来。第二，当t??时，i?1。即所有人终将被传染，全变为病人，这显然不符合实际情况。
其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈，人群中的健康者只能变成病人，病人不会再变成健康者。
为了修正上述结果必须重新考虑模型的假设，在下面的两个模型中将讨论病人可以治愈的情况。
3．模型Ⅲ
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有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定无免疫性。于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人。
模型假设：
模型Ⅲ的前三个假设与模型Ⅱ的假设相同。
（4）每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数?，称为日治愈率。病人治愈后成为仍可被感染的健康者，显然1?是这种传染病的平均传染期。
考虑到假设（4），模型Ⅱ中的（17）式应修正为 Ndidt （20） ??Ns(t)it(?)?Nit(. )由于s(t)?i(t)?1，所以（20）式化为 方程（21）的解为
1????(???)t?1[?(?e)]?,??,????i????0 i(t)?? （22）
1?(?t?)?1, ???.?i0?didt??i(t)[?1it(?)?]iti(),?i(00. ) （21）
定义
???? （23） 注意到?和1?的含义，可知?是整个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数。
利用?，（21）式可改写为
didt???i(t)i[t(?)1?(1?) ] （24）.
方程（24）和模型（22）的图形见图4－5和图4－6。
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由图4－5和图4－6不难看出，接触数??1是一个阈值。当??1时，i(t)的增减性取决于i0的大小，但其极限值i(?)?1?1?随着?的增加而增加；当??1时病人比例
最终趋于零，这是由于传染期内健康者变成病人的人数不超过原来病人数i(t)越来越小，的缘故。
4．模型Ⅳ
大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人既非健康者（易感染者），也非病人（已感染者），他们已经退出传染系统。这种情况比较复杂，下面将详细分析建模过程。
模型假设：
（1）在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，既不考虑生死，也不考虑迁移。人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者，三类人在总人数N中占的比例分别记作
s(t),i(t)和r(t)。
（2）病人的日接触率为常数?，日治愈率为常数?，传染期接触数为????。 由假设（1）知
s(t)?i(t)? （25） r(t?) 1由假设（2）知方程（20）仍成立。对于病愈免疫的移出者而言应有 Ndrdt??Ni(t). （26）
再记初始时刻的健康者和病人的比例分别是s0(s0?0)和i0(io?0)，且不妨假设移出者的初始值r0?0，则由（20）、（25）和（26）式得
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?di??s(t)it(?)?it(i), ?(t0),0??dt ? （27）
ds????s(t)it()s, (?0s0) . ??dt（27）式即为我们所要建立的数学模型。由于方程（27）无法求出s(t)和i(t)的解析解，因此只能采用数值计算，具体应用时，可使用数学软件来完成。
在模型Ⅳ中????是一个重要参数，由于方程（27）无解析解，因此?、?都很难估计。而当一次传染病结束后，可以获得s0和s?，这时可采用下式对?进行估计
??lns0?lns?s0?s?. （28）
当同样的传染病到来时，如果估计?、?没有多大变化，那么就可以用上面得到的?分析这次传染病的蔓延过程。
关于对模型Ⅳ进行相轨线分析的问题，请有兴趣的同学参阅姜启源、谢金星、叶俊主编的《数学模型》第三版139-144页。
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