3－4 二阶系统
用二阶微分方程描述的系统，称二阶系统。它在控制系统中应用极为广泛。例如，R?L?C网络、忽略电枢电感后的电动机、弹簧－质量－阻尼器系统、扭转弹簧系统等等。此外，许多高阶系统，在一定条件下，往往可以简化成二阶系统。因此，详细研究和分析二阶系统的特性，具有重要的实际意义。
以图1-7、图2-21所示随动系统为例进行研究。这里把图2-21进一步简化成图3-9(a)。图中K?K1K2Kmi，系统闭环传递函数为
为了使研究的结论具有普遍性，将上式写成典型形式或标准形式
C(s)K （3-9） ?2R(s)Tms?s?KC(s)1 ?22R(s)Ts?2?Ts?12?nC(s)或 （3?22R(s)s?2??ns??n-10）
图3-9(b)为二阶系统的一般结构图形式。式中
Tm11；2?T?；?? T??K?nK2KTm1可见，二阶系统的响应特性完全可以由阻尼比?和自然频率?n (或时间常数T)两个参数确定。一般形式的闭环特征方程为
2s2?2??ns??n?0
方程的特征根(系统闭环极点)为
s1,2????n??n?2?1
当阻尼比较小，即0???1时，方程有一对实部为负的共轭复根
s1,2????n?j?n1??2
系统时间响应具有振荡特性，称为欠阻尼状态。
当??1时，系统有一对相等的负实根
s1,2????n
系统时间响应开始失去振荡特性，或者说，处于振荡与不振荡的临界状态，故称为临界阻尼状态。
当阻尼比较大，即??1时，系统有两个不相等的负实根
s1,2????n??n?2?1
这时系统时间响应具有单调特性，称为过阻尼状态。
当??0时，系统有一对纯虚根，即s1,2??j?n，称为无阻尼状态。系统时间响应为等幅振荡，其幅值取决于初始条件，而频率则取决于系统本身的参数。
上述各种情况对应的闭环极点分布及对应的脉冲响应，如图3-10所示。 下面分别研究欠阻尼和过阻尼两种情况的响应及其性能指标。 一、 二阶系统的阶跃响应
1、欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应 二阶系统中，欠阻尼二阶系统最为常见。由于这种系统具有一对实部为负的共轭复根，时间响应呈现衰减振荡特性，故又称振荡环节。
当阻尼比0???1时，二阶系统的闭环特征方程有一对共轭复根，即
s1,2????n?j?n1??2????n?j?d
2式中?d??n1??，称为有阻尼振荡角频率，且?d??n。
当输入信号为单位阶跃函数时，输出的拉氏变换式由式(3-10)可得
2?n1 C(s)?22ss?2??ns??n?s???n??n1 ??2222s(s???n)??d(s???n)??d对上式进行拉氏反变换，得欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应，并用h(t)表示，即
???nth(t)?1?e???sin?dt??cos?dt?2??1????2t?0
?1?式中?由图3-11所示。
e???nt1??sin(?dt??) （3-11）
??arctan1??2?或??arccos?
由式(3-11)可见，系统的响应由稳态分量与瞬态分量两部分组成，稳态分量值等于1，瞬态分量是一个随着时间t的增长而衰减的振荡过程。振荡角频率为?d，其值取决于阻尼比?及无阻尼自然频率?n。我们采用无因次时间?nt作为横坐标，这样，时间响应仅仅为阻尼比?的函数，如图3-12所示。
由图可见，阻尼比?越大，超调量越小，响应的振荡越弱，系统平稳性越好。反之，阻尼比?越小，振荡越强烈，平稳性越差。
当??0.707时，系统阶跃响应h(t)不出现峰值(?%?0)，单调地趋于稳态值。 当??0.707时， h(tp)?1.04?h(?)，调节时间最小，?%?4%，若按5%的误差带考虑，可认为?%?0。
当??0.707时， ?%随?减小而增大。过渡过程峰值和调节时间也随?减小而增大。
当??0时(即??90?， 表示系统具有一对纯虚根)，方程式(3-11)就成为
h(t)?1?cos?ntt?0 （3-12）
显然，这时响应具有频率为?n的等幅振荡，即无阻尼振荡。
此外，当?过大时，系统响应滞缓，调节时间ts很长，系统快速性差；反之，?过小，虽然响应的起始速度较快，但因为振荡强烈，衰减缓慢，所以调节时间ts亦长，快速性也差。由图3-12可见，对于5%的误差带，当??0.707时，调节时间最短，即快速性最好，这时超调量?%?5%，故平稳性也是很好的，所以把??0.707称为最佳阻尼比。
关于稳态精度：由于随时间t的增长，瞬态分量趋于零，而稳态分量恰好与输入量相等，因此稳态时系统是无差的。
欠阻尼二阶系统性能指标的计算如下：
延迟时间td：根据定义，令式(3-11)等于0.5，即h(t)=0.5，整理后可得
①
?ntd?1?ln2sin(1??2?ntd?arccos?)1??2
取?ntd为不同值，可以计算出相应的?值，然后绘出?ntd与?的关系曲线，如图3-13所示。利用曲线拟合方法，可得延迟时间的近似表达式
1?0.6??0.2?2td???1 （3-13）
?n或td?1?0.7?2?n0???1 (3-14)
上述两式表明，增大?n或减小?，都可以减小延迟时间td。或者说，当阻尼比不变时，闭环极点离［s］平面的坐标原点越远，系统的延迟时间越短；而当自然频率不变时，闭环极点离［s］平面的虚轴越近，系统的延迟时间越短。
上升时间tr：根据定义，令式（3-11）等于1。即h(t)?1 ，
②
可得
①
也有定义h(t)上升到稳态10%所需要的时间td
也有定义h(t)从稳态的10%上升到90%所需要的时间；也有用h(t)稳态值的90%所需要的时间作为tr。
②
1?e因为
???ntr???cos?t??sin?dtr??1 dr??1??2??e???ntr?0
所以
cos?dtr?则有
?1??2sin?dtr?0
tan?dtr??1??2?
tr?由图3－11可见
arctan1?darctan?1??2?
?1??2?????
所以
tr???? （3-15） ?d显然，当阻尼比?不变时，?角也不变。如果无阻尼振荡频率?n增大，即增大闭环极 点到坐标原点的距离，那么上升时间tr就会缩短，从而加快了系统的响应速度；阻尼比越小(?越大)，上升时间就越短。
峰值时间tp：将式(3-11)对时间求导并令其为零，可得峰值时间
dh(t)|t?tp?0 dt将上式整理得
tan??tan(?dtp??)
则有?dtp?0，?， 2?，3?， ?。根据峰值时间的定义，tp是指h(t)越过稳态值，到达第一个峰值所需要的时间，所以应取?dtp??。因此峰值时间的计算公式为
tp??? 或 （3-16）
2?d?n1??