上式表明，峰值时间等于阻尼振荡周期一半。当阻尼比不变时，极点离实轴的距离越远，系统的峰值时间越短，或者说，极点离坐标原点的距离越远，系统的峰值时间越短。
超调量?%：将峰值时间式(3-16)代入式(3-11)，得输出量的最大值h(tp)
h(tp)?1?e???1??221??sin(???)
2由图3-11可知 sin(???)??1??
代入上式，则 h(tp)?1?e根据超调量的定义式，并在h(?)?1条件下，可得
???1??2
?%?e???（3-17）
1??2?100%
显然，超调量仅与阻尼比?有关，与自然频率?n的大小无关。图3-14表示了超调量?%与阻尼比?的关系曲线。由图可见，阻尼比越大(?越小)，超调量越小；反之亦然。或者说，闭环极点越接近虚轴，超调量越大。通常，对于随动系统取阻尼比为0.4~0.8，相应的超调量为25.4%~1.5%。
调节时间ts： 写出调节时间ts的准确表达式是相当困难的。在初步分析和设计中，经常采用近似方法计算。对于欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应
2?1??h(t)?1?sin??d?arctan??1??2?e???nt?? ??来说，指数曲线1?e???nt1??2是阶跃响应衰减振荡的
上下二条包络线，整个响应曲线总是包含在这二条包络线之内，该包络线对称于阶跃响应的稳态分量。在图3-15中，采用无因次时间?nt作横坐标，给出了
??0.707时的单位阶跃响应以及相应的包络线。可见，实际响应的收敛速度比包络线的收
敛速度要快，因此采用包络线代替实际响应曲线来估算调节时间是可靠的。
根据上述分析，当??0.8时，经常采用下列近似公式
tr?3.5??n 取5%误差带 (3-18)
或ts?4.5??n 取2%误差带 (3-19)
上式表明，调节时间与闭环极点的实部数值(??n)成反比，实部数值越大，即极点离虚轴的距离越远，系统的调节时间越短，过渡过程结束得越快。
综上所述，从各动态性能指标的计算公式及有关说明可以看出，各指标之间往往是有矛盾的。如上升时间和超调量，即响应速度和阻尼程度，要求上升时间小，必定使超调量加大，反之亦然。当阻
尼比?一定时，如果允许加大?n，则可以减小所有时间指标(td、tr、ts和tp)的数值，同时超调量可保持不变。
因此，在实际系统中，往往需要综合全面考虑各方面的因素，然后再作正确的抉择。即所谓“最佳”设计。
【例3-1】 在图3－16所示的随动系统中，当给定系统输入为单位阶跃函数时，试计算当放大器增益KA?200时，输出位置响应的性能指标：tp、ts和?%。如果将放大器增益增大到KA?1500或减小到KA?13.5，那么对响应的动态性能又有什么影响?
解 将图3-16与二阶系统典型结构图形式图3-9(b)进行比较，可得
2?n?5KA，
??34.534.5 ?2?n25KA将KA?200代入上两式得
2?n?1000，?n?31.6(rad/s)
??0.545
则系统闭环传递函数为
2?n1000 （3-20） ?(s)?2?2s?2??ns??ns2?34.5s?1000上式也可直接由图3-16求得。然后，对照标准形式求得?、?n，并把?、?n值代入相应
公式(3-16)、(3-18)和(3-17)求得
tp???n1??ts?3.52?0.12(s)
?n?1??2?0.2(s)
?%?e???当KA?1500时，同样可计算出
?100%?13%
?n?86.2(rad/s)
??0.2
则有
tp?0.037(s) ts?0.2(s)
?%?52.7%
可见，KA增大，使?减小而?n增大，因而使?%增大，tp减小，而调节时间ts则没有多大变化。
当KA减小到KA?13.5时，经过同样的计算可得到??2.1，?n?8.22(rad/s)。系统成为过阻尼二阶系统。峰值和超调量不再存在。而ts必须按下面将要介绍的过阻尼二阶系统来计算。由响应曲线图3-17可见，上升时间tr比上面两种情况大得多，虽然响应无超调，但过渡过程过于缓慢，也就是系统跟踪输入很慢，这也是不希望的。
2. 过阻尼二阶系统的单位阶跃响应 当
??1时，二阶系统的闭环特征方程有两个不相
等的负实根。可写成
?1??1?2??s2?2??ns??n??s?s??T??T???0式中 1??2??T1?1?n(????1)2
T2?1?n(????1)2
且T1?T2,?n?21，于是闭环传递函数为 T1T21T1T2C(s)1 ??R(s)?(Ts?1)(Ts?1)1??1?12????s?s???T1?T2?????因此，过阻尼二阶系统可以看成二个时间常数不同的惯性环节的串联。
当输入信号为单位阶跃函数时，系统的输出为
?t?t1T21T1T1h(t)?1?e?eT2
1T2?1T11T2?1T111?1?1T2e?(??1T2?1T1?2?1)?nt?1T1e?(??1T2?1T1?2?1)?nt
t?0
（3-21）
式中稳态分量为1，瞬态分量为后两项指数项。可以看出，瞬态分量随时间t的增长而衰减到零，故系统在稳态时为无差的。其响应曲线如图3-18所示。
由图3-18看出，响应是非振荡的，但它是由两个惯性环节串联而产生的，所以又不同于一阶系统的单位阶跃响应，其起始阶段速度很小，然后逐渐加大到某一值后又减小，直到趋于零。因此，整个响应曲线有一个拐点。
对于过阻尼二阶系统的性能指标，同样可以用tr、ts等来描述。这里着重讨论调节时间ts，它反映系统响应的快速性。确定ts的准确表达式同样是很困难的。一般可根据(3-21)式，令T1T2为不同值，计算出相应的无因次调节时间tsT1。图3-19给出了误差带为5%的调节时间曲线。由图可见：
当T1?T2， 即??1的临界阻尼情况，ts?4.75T1 当T1?4T2，即??1.25时，ts?3.3T1 当T1?4T2，即??1.25时，ts?3T1
上述分析说明，当系统的一个负实根比另一个大4倍以上时，即两个惯性环节的时间常数相差4倍以上，则系统可以等效为一阶系统，其调节时间ts可近似等于3T1 (误差不大于10%)。这也可以由式(3-21)看出，由于T1?4T2，所以e项比e?tT1?tT2项衰减快得多，即响应曲线主要取决于大时间常数T1确定的环节，或者说主要取
决于离虚轴较近的极点。这样，过阻尼二阶系统调节时间ts的计算，实际上只局限于
??1~1.25的范围。
当??1.25时，就可将系统等效成一阶系统，其传递函数可近似地表示为
C(s)1 ?R(s)T1s?1这一近似函数形式也可根据下述条件直接得到，即原来的传递函数值和最终值，二者对应相等。
对于近似传递函数
C(s)与近似函数的初始R(s)C(s)，其单位阶跃响应的拉氏变换式 R(s)C(s)?1T1?1??s?s??T1???
时间响应h(t)为
h(t)?1?e?tT1?1?e?(???2?1)?ntt?0
上式就是当
C(s)中，有一个极点可以忽略时的近似的单位阶跃响应。图3-20示出了R(s)??2,?n?1时的近似响应函数曲线，在图中还画出了系统过阻尼时的准确响应函数曲线。
这时，系统的近似解为