第2章 电磁场的基本规律
2.1 基本内容概述
本章以大学物理（电磁学）为基础，介绍电磁场的基本物理量和基本规律，主要内容包括：电荷与电荷分布、电流与电流密度、电荷守恒定律；真空中的静电场方程；真空中静磁场方程；媒质的极化和磁化；电磁感应定律、位移电流；麦克斯韦方程组、电磁场的边界条件。
2.1.1 电荷守恒定律
1. 电荷与电荷分布
在电磁理论中，根据电荷分布的具体情况，电荷源模型分为体电荷、面电荷、线电荷和点电荷，分别用电荷体密度?、电荷面密度?S和电荷线密度?l来描述电荷在空间体积、曲面和曲线中的分布。
?qdq??V?0?VdV?qdq?S?r??lim??S?0?SdS?qdq?l?r??lim??l?0?ldl??r??limC/m3 (2.1) C/m2 (2.2) C/m (2.3)
“点电荷”是电荷分布的一种极限情况。当电荷q位于坐标原点时，其体密度??r?应为
?q?0??r??lim???V?0?V???可用?函数表示为
?r?0时?
?r?0时???r??q??r? (2.4)
2. 电流与电流密度
在电磁理论中，电流源模型分为体电流、面电流和线电流，分别用电流密度J和面电流密度JS来描述电流在截面上和厚度趋于零的薄层上的分布。
?idi??S?0?SdS?idiJS?lim??l?0?ldlJ?lim3.电荷守恒定律
积分形式
?A/m? (2.5)
2?A/m? (2.6)
??SJ?dS??d?dV (2.7) dt?V微分形式 ??J????0 (2.8) ?t2.1.2 真空中的静电场方程
1. 库仑定律
真空中，位于r1处的点电荷q1对位于r2处的点电荷q2的作用力为
F12?eR2.电场强度
（1）电场强度的定义
q1q2?r2?r1?4??0r2?r13?q1q2R (2.9) 34??0RE?r??lim（2）已知电荷分布求解电场强度 点电荷 E?r??F?r? (2.10)
q0?0q0qr?r'33 （2.11）
4??0Rr?r' 体密度分布电荷 E?r??1r?r'4????r'?dV' 0?Vr?r'3 面密度分布电荷 E?r??14??3?S?r'?dS' 0?r?r'Sr?r' 线密度分布电荷 E?r??1?r?r'4??0lr?r'3?l?r'?dl' 3.静电场方程 积分形式 ：
??E?r??dS?1NS??qi 0i?1
??CE?r??dl?0 微分形式： ??E?r???? 0??E?r??0 2.1.3 真空中的磁场方程
1.安培力定律
真空中，线电流回路C1对回路C2的磁场力为
F?0dl2???I1dl1??r2?r1???12=4???I2C2??Cr3 12?r12.磁感应强度
已知电流分布求解磁感应强度
线电流 B?r?=?0dl'??r?r'?4???ICr?r'3 面电流 B?r?=?0JS?r'???r?r'?4??Sr?r'3dS' 体电流 B?r?=?0?r'???r?r'?4??JVr?r'3dV' 3.静磁场方程
积分形式：
??sB?r??dS?0 （2.12）
（2.13） （2.14）
（2.15）
（2.16）
2.17） 2.18）
（2.19）（2.20）（2.21）（2.22）（2.23） （（
??B?r??dl??I （2.24）
c0B?r??0 （2.25） 微分形式： ????B?r???0J?r? （2.26）
2.1.4 电磁感应定律
dB?dS （2.27） ?cSdt?B （2.28）
微分形式： ??E??积分形式：
??E?dl???t2.1.5 位移电流密度
J?Dd??t 引入位移电流的概念后，安培环路定律修正为
???D?cH?dl???S??J??t???dS 2.1.6 麦克斯韦方程组
1.积分形式
??H?dl??(?DcSJ??t)?dS ??E?dl????BcS?t?dS ??SB?dS?0 ??SD?dS?q 2.微分形式
??H?J??D?t ??E???B?t ??B?0 ??D?? 3.媒质的电磁特性方程
对于线性和各向同性媒质，场量之间的关系为
D??E B??H J??E 2.1.7 电磁场的边界条件
1.边界条件的一般形式
en??H1?H2??JS en??E1?E2??0 en??B1?B2??0 （2.29）
（2.30） （2.31a） （2.31b） （2.31c） （2.31d）
2.32a） 2.32b） 2.32c）
2.32d）
（2.33） （2.34）
（2.35）
（2.36a） （2.36b） （2.36c）
（ （ （ （ en??D1?D2???s （2.36d）
式中的en为媒质分界面法线方向单位矢量，选定为离开分界面指向媒质1。
2.两种理想介质分界面?JS?0,?S?0?的边界条件
en??H1?H2??0 （2.37a） en??E1?E2??0 （2.37b）
en??B1?B2??0 （2.37c） en??D1?D2??0 （2.37d）
3.理想导体的边界条件（设定媒质2为理想导体）
en?H1?JS en?E1?0 en?B1?0 en?D1??s
3.电导
导电媒质中两电极间的电导为
G?I??SJ?dS?SE?dSU??2???E?dl?211E?dl 3.1.3 恒定磁场
1.基本方程和边界条件 基本方程
微分形式
??B?0??H?J积分形式
??SB?dS?0??CH?dl??SJ?dS边界条件
en??B1?B2??0 或 B1n?B2n?0 en??H1?H2??JS 或 H1t?H2t?JS 2.矢量磁位
（1）矢量磁位及其微分方程
根据恒定磁场的无源性（??B?0），引入矢量磁位A，使得
B???A 在均匀、线性和各向同性磁介质中，已知电流求解矢量磁位
体分布电流 A?r???r'?4??J?Vr?r?dV? （2.38a）
（2.38b） （2.38c） （2.38d）
(3.24a)(3.24b)
(3.25a)(3.25b)
3.26a） 3.26b）
（3.27） 3.28） （ （ （面分布电流 A?r???JS?r'?dS? （3.29） ?S4?r?r??Idl?线电流 A?r???lr?r? （3.30） 4??在均匀、线性和各向同性磁介质中，矢量磁位满足泊松方程
?2A???J （3.31） 或拉普拉斯方程（J?0时）
?2A?0 （3.32）
（2）矢量磁位的边界条件
A1?A2 （3.33a）
?1?1en????A1???A2??JS （3.33b）
?2??1?4.磁场能量和磁场力
（1）能量和能量密度
1N多个电流回路的能量 Wm??Ii?i （3.37）
2j?11分布电流的能量 Wm??J?Adv （3.38）
2v1能量密度 wm?B?H （3.39）
25.电感
回路的自感 L?回路的互感 M21??I （3.41）
?21I1 ，M12??12I2 （3.42）
纽曼公式 M??4?dl2gdl1蜒?c1?c2r1?r2 （3.43）
3.1.4 边值问题及其解的惟一性
1.边值问题的类型
第一类边值问题：已知位函数在场域边界上的值。 第二类边值问题：已知位函数在场域边界上的法向导数。
第三类边值问题：已知在部分场域边界上的位函数值和另一部分场域边界上的位函数
法向导数。 2 .惟一性定理
在场域V的边界面S上给定位函数?或方程在场域V内有惟一解。
??的值，则位函数?的泊松方程或拉普拉斯 ?n3.1.5 镜像法
1.点电荷（或线电荷）对无限大接地导体平面的镜像法
q?(或?l')??q(或?l) ，h'?h （3.44）