2.点电荷对导体球面的镜像法 （1）导体球接地
aa2q???q,d?? （3.45）
dd（2）导体球不接地
aa2q???q，d??dd；q''??q?，d''?0 （3.46）
3.线电荷对接地导体圆柱面的镜像法
a2?l'???l,d?? （3.47）
d3.1.6 分离变量法
1.直角坐标系中的分离变量法 位函数??x,y?满足拉普拉斯方程
?2??2???0 ?x2?y2方程的通解
?(x,y)?(A0x?B0)(C0y?D0)
??(Ansinknx?Bncosknx)(Cnsinhkny?Dncoshkny) （3.50a）
n?1?或
?(x,y)?(A0x?B0)(C0y?D0)
??(Ansinhknx?Bncoshknx)(Cnsinkny?Dncoskny) （3.50b）
n?1?
第4章 时变电磁场
4.1基本内容概述
这一章主要讨论时变电磁场的普遍规律，内容包括：电磁场的波动方程，动态矢量位和标量位，坡印廷定理与坡印廷矢量，时谐电磁场。
4.1.1波动方程
在无源的线性、各向同性且无损耗的均匀媒质中，由麦克斯韦方程组可推导出电场E和磁场H满足波动方程
?2E?E???2?0 （4.1）
?t2?2H?H???2?0 （4.2）
?t24.1.2 动态矢量位和标量位
在时变电磁场中，动态矢量位A和动态标量位?的定义为
B???A （4.3）
E??应用洛仑兹条件
?A??? （4.4） ?t???0 （4.5） ?t??A???可得到A和?的微分方程为
?2A?A???2???J （4.6）
?t2?2?1?????2??? （4.7）
?t?24.1.3 坡印廷定理和坡印廷矢量
1．坡印廷定理
坡印廷定理表征了电磁场能量守恒关系，其微分形式为
???(E?H)?积分形式为
?11(H?B?E?D)?E?J （4.8） ?t22d11(H?B?E?D)dV??E?JdV （4.9）
Vdt?V22坡印廷定理的物理意义：单位时间内通过曲面S进入体积V的电磁能量等于单位时间内体积V中所增加的电磁场能量与损耗的能量之和。
2．坡印廷矢量S
???S(E?H)?dS?坡印廷矢量是描述电磁能量传输的一个重要物理量，其定义为
S?E?H （Wm2） （4.10）
它表示单位时间内通过垂直于能量传输方向的单位面积的电磁能量，其方向就是电磁能量传
输的方向。
4.1.4 时谐电磁场
1．时谐电磁场的复数表示法
以一定角频率作时谐变化的电磁场称为时谐电磁场或正弦电磁场。 时谐电磁场可用复数形式来表示
E(r,t)?Re[E(r)ej?t] （4.10）
其中
E(r)?exExm(r)ej?x(r)?eyEym(r)e称为电场强度E的复数形式或复矢量。
j?y(r)?ezEzm(r)ej?z(r) （4.11）
2．麦克斯韦方程的复数形式
时谐电磁场的复矢量满足的麦克斯韦方程为
??H(r)?J(r)?j?D(r) （4.12） ??Ε(r)??j?B(r) （4.13） ??B(r)?0 （4.14） ??D(r)??(r) （4.15）
3．复电容率和复磁导率
在时谐电磁场中，对于存在电极化损耗的电介质，表征其电极化特性的参数是复介电常数（即复电容率）
?????j??? （4.16）
对于存在磁化损耗的磁介质，表征其磁化特性的参数是复磁导率
?c????j??? （4.17）
对于介电常数为?、电导率为?的导电媒质，其损耗特性可用等效复介电常数?c来描述
?c???j4．波动方程的复数形式
? （4.18） ?在无源空间中，电场E和磁场H的复矢量满足的波动方程为
?2E?k2E?0 （4.19）
?2H?k2H?0 （4.20）
称为亥姆霍兹方程，其中
k2??2?? （4.21）
5．动态矢量位和标量位的复矢量
在时谐电磁场中，动态矢量位A和动态标量位?的复矢量为
B???A （4.22）
E??j?A??? （4.23）
洛仑兹条件为
??A?j?????0 （4.24）
可得到A和?的微分方程为
?2A??2??A???J （4.25）
1?2???2?????? （4.26）
?5．平均坡印廷矢量Sav
在时谐电磁场中，一个周期T内的平均能流密度矢量Sav（即平均坡印廷矢量）为
Sav?用复矢量来计算，则为
1T?Sdt?T?02??2??0Sdt （4.27）
Sav?
1Re[E?H?] （4.28） 2第5章 平面电磁波
5.1基本内容概述
本章讨论均匀平面波在无界空间传播的特性，主要内容为：均匀平面波在无界的理想介质中的传播特性和导电媒质中的传播特性，电磁波的极化，均匀平面波在各向异性媒质中的传播、相速与群速。
5.1.1理想介质中的均匀平面波
1．均匀平面波函数
在正弦稳态的情况下，线性、各向同性的均匀媒质中的无源区域的波动方程为
?2E?k2E?0 对于沿z轴方向传播的均匀平面波，E仅是z坐标的函数。若取电场E的方向为x轴，即E?exEx，则波动方程简化为
d2Ex?k2Ex?0 2dz沿＋z轴方向传播的正向行波为
E(z)?exEmej?e?jkz （5.1）
与之相伴的磁场强度复矢量为
H(z)?k??ez?E(z)?ey1?Emej?e?jkz （5.2）
电场强度和磁场强度的瞬时值形式分别为
E(z,t)?Re[E(z)ej?t]?exEmcos(?t?kz??) （5.3）
EH(z,t)?Re[H(z)ej?t]?eymcos(?t?kz??) （5.4）
?2．均匀平面波的传播参数
(s)，表示时间相位相差2?的时间间隔。 ?（2）相位常数k???? （rad/m），表示波传播单位距离的相位变化。
（1）周期T?2?2? （m），表示空间相位相差2?的两等相位面之间的距离。 k??1（4）相速vp?（m/s），表示等相位面的移动速度。
??k（3）波长??（5）波阻抗（本征阻抗）??Ex?Hy?（?），描述均匀平面波的电场和磁场之间的?大小及相位关系。在真空中，???0?3．能量密度与能流密度
?0?120??377（?） ?0在理想介质中，均匀平面波的电场能量密度等于磁场能量密度，即
1122?E??H 22电磁能量密度可表示为
112222w?we?wm??E??H??E??H （5.5）
22瞬时坡印廷矢量为
S?E?H?ez平均坡印廷矢量为
1?E （5.6）
2Sav?112??Re?E?H?eE （5.7） ?z2?2?4．沿任意方向传播的平面波
对于任意方向en传播的均匀平面波，定义波矢量为
k?enk?exkx?eyky?ezkz （5.8）
则
E(r)?E0e?jk?r?E0e?jken?r （5.9）
H?r??1?nen?E0?0 （5.11）
5.1.2电磁波的极化
e?E?r? （5.10）
1．极化的概念
波的极化表征在空间给定点上电场强度矢量的取向随时间变化的特性, 并用电场强度矢量的端点在空间描绘出的轨迹来描述。
电磁波的极化状态分为：直线极化、圆极化、椭圆极化。 2．极化的三种状态
一般情况下，沿z方向传播的均匀平面波的电场可表示为