高中数学学案
高中数学必修五知识点汇总
第一章 解三角形 一、知识点总结 正弦定理:
abc1．正弦定理:???2R (R为三角形外接圆的半径).
sinAsinBsinC步骤1.
证明：在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H CH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA
ab 得到 同理，在△ABC?siansibncb中， ?sincsinb步骤2.
abc 证明：???2R
sinAsinBsinC 如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O. 作直径BD交⊙O于D. 连接DA.
因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90°
因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.
c 所以sinD??sinC
2Rabc 故???2R
sinAsinBsinC2.正弦定理的一些变式：
cab?i?a?b?c?sinA?sinB?sinC；?ii?sinA?,sinB?,sinC?；
2R2R2Ra?b?c?2R （4）?iii?a?2RsinA,b?2RsinB,b?2RsinC；
sinA?sinB?sinC3．两类正弦定理解三角形的问题：
（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解） 4.在?ABC中，已知a,b及A时，解得情况： 解法一：利用正弦定理计算
解法二：分析三角形解的情况，可用余弦定理做，已知a,b和角A，则由余弦定理得 即可得出关于c的方程：c2?2bcosAc?b2?a2?0 分析该方程的解的情况即三角形解的情况 ①△=0,则三角形有一解 ②△>0则三角形有两解 ③△<0则三角形无解 余弦定理:
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?a2?b2?c2?2bccosA?21．余弦定理： ?b?a2?c2?2accosB
?c2?b2?a2?2bacosC??b2?c2?a2?cosA?2bc?
a2?c2?b2?
2.推论： ?cosB?.
2ac?
?b2?a2?c2?cosC?
2ab?
设a、b、c是???C的角?、?、C的对边，则： ①若a2?b2?c2，则C?90； ②若a2?b2?c2，则C?90； ③若a2?b2?c2，则C?90．
3.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角.
（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 面积公式:
已知三角形的三边为a,b,c,
1.S?1aha?1absinC?1r(a?b?c)（其中r为三角形内切圆半径）
2222.设p?1(a?b?c),S?2p(p?a)(p?b)(p?c)(海伦公式)
1例：已知三角形的三边为a、b、c，设p?(a?b?c)，求证：
2（1）三角形的面积S?p(p?a)(p?b)(p?c)； （2）r为三角形的内切圆半径，则r?(p?a)(p?b)(p?c)
p2ap(p?a)(p?b)(p?c)
（3）把边BC、CA、AB上的高分别记为ha、hb、hc，则ha?2p(p?a)(p?b)(p?c) b2 hc?p(p?a)(p?b)(p?c)
c hb?a2?b2?c2证明：（1）根据余弦定理的推论：cosC?
2aba2?b2?c22) 由同角三角函数之间的关系，sinC?1?cosC?1?(2ab2第 2 页 共 24 页
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代入S?absinC，得
1a2?b2?c22) S?ab1?(22ab121(2ab)2?(a2?b2?c2)2 41 ?(2ab?a2?b2?c2)(2ab?a2?b2?c2)
41 ?(a?b?c)(a?b?c)(c?a?b)(c?a?b) 41111记p?(a?b?c)，则可得到(b?c?a)?p?a，(c?a?b)?p?b，(a?b?c)?p?c
2222 ?代入可证得公式
（2）三角形的面积S与三角形内切圆半径r之间有关系式S??2p?r?pr 其中p?(a?b?c)，所以r?12S(p?a)(p?b)(p?c)? pp12注：连接圆心和三角形三个顶点，构成三个小三角形，则大三角形的面积就是三个小三角
111形面积的和 故得：S?ar?br?cr?pr
222 （3）根据三角形面积公式S??a?ha
2S22?p(p?a)(p?a)(p?a)，即ha?p(p?a)(p?a)(p?a) aaa22 同理hb?p(p?a)(p?a)(p?a)，hc?p(p?a)(p?a)(p?a) bc12 所以，ha?【三角形中的常见结论】
（1）A?B?C??(2) sin(A?B)?sinC,cos(A?B)??cosC,tan(A?B)??tanC,
sinA?BCA?BC?cos,cos?sin;sin2A?2sinA?cosA, 2222（3）若A?B?C?a?b?c?sinA?sinB?sinC 若sinA?sinB?sinC?a?b?c?A?B?C （大边对大角，小边对小角）
（4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 （5）三角形中最大角大于等于60?，最小角小于等于60?
(6) 锐角三角形?三内角都是锐角?三内角的余弦值为正值?任两角和都是钝角?任意两边的平方和大于第三边的平方.
钝角三角形?最大角是钝角?最大角的余弦值为负值 （7）?ABC中，A,B,C成等差数列的充要条件是B?60?.
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(8) ?ABC为正三角形的充要条件是A,B,C成等差数列，且a,b,c成等比数列. 二、题型汇总:
题型1:判定三角形形状
判断三角形的类型
（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.
a2?b2?c2?A是直角??ABC是直角三角形（2）在?ABC中，由余弦定理可知:a2?b2?c2?A是钝角??ABC是钝角三角形
a2?b2?c2?A是锐角??ABC是锐角三角形 （注意：A是锐角??ABC是锐角三角形） (3) 若sin2A?sin2B，则A=B或A?B??2.
例1.在?ABC中，c?2bcosA，且(a?b?c)(a?b?c)?3ab，试判断?ABC形状.
题型2:解三角形及求面积
一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
例2.在?ABC中，a?1，b?3，?A?300，求的值
例3.在?ABC中，内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c，已知c?2，C? （Ⅰ）若?ABC的面积等于3，求a，b
（Ⅱ）若sinC?sin(B?A)?2sin2A，求?ABC的面积．
题型3:证明等式成立
证明等式成立的方法：（1）左?右，（2）右?左，（3）左右互相推.
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?3．
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例4.已知?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，求证：a?bcosC?ccosB.
题型4:解三角形在实际中的应用
考察：（仰角、俯角、方向角、方位角、视角）
例5．如图所示，货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时到达C点观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？
三、解三角形的应用 1.坡角和坡度：
坡面与水平面的锐二面角叫做坡角，坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡度，用i表示，根据定义可知：坡度是坡角的正切，即i?tan?.
α
2.俯角和仰角：
hl
如图所示，在同一铅垂面内，在目标视线与水平线所成的夹角中，目标视线在水平视线的上方时叫做仰角，目标视线在水平视线的下方时叫做俯角.
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