b4ac?b2b4ac?b2?1,)；,)；标为(?（2）焦点的坐标为(?（3）准线方程是2a4a2a4a4ac?b2?1y?.
4a93.抛物线的内外部
(1)点P(x0,y0)在抛物线y2?2px(p?0)的内部?y2?2px(p?0). 点P(x0,y0)在抛物线y2?2px(p?0)的外部?y2?2px(p?0). (2)点P(x0,y0)在抛物线y2??2px(p?0)的内部?y2??2px(p?0). 点P(x0,y0)在抛物线y2??2px(p?0)的外部?y2??2px(p?0). (3)点P(x0,y0)在抛物线x2?2py(p?0)的内部?x2?2py(p?0). 点P(x0,y0)在抛物线x2?2py(p?0)的外部?x2?2py(p?0). (4)点P(x0,y0)在抛物线x2?2py(p?0)的内部?x2?2py(p?0). 点P(x0,y0)在抛物线x2??2py(p?0)的外部?x2??2py(p?0).
94.两个常见的曲线系方程
(1)过曲线f1(x,y)?0,f2(x,y)?0的交点的曲线系方程是f1(x,y)??f2(x,y)?0(?为参数)
x2y2?2?1,其中(2)共焦点的有对称中心的圆锥曲线系方程2a?kb?kk?max{a2,b2}；
当k?min{a2,b2}时,表示椭圆；当min{时,表示双曲a2,b2}?k?max{a2,b2}线.
95.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB?(x1?x2)2?(y1?y2)2或
AB?(1?k2)(x2?x1)2?|x1?x2|1?tan2??|y1?y2|1?cot2?（弦端点A(x1,y1),B(x2,y2)， 【?为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率】. 96.圆锥曲线的两类对称问题
（1）曲线F(x,y)?0关于点P(x0,y0)成中心对称的曲线是F(2x0?x,2y0?y)?0.
（2）曲线F(x,y)?0关于直线Ax?By?C?0成轴对称的曲线是
F(x?2A(Ax?By?C)2B(Ax?By?C),y?)?0.
A2?B2A2?B222297.“四线”一方程
对于一般的二次曲线Ax?Bxy?Cy?Dx?Ey?F?0，用x0x代x，用y0y代y，用
2x0y?xy0x?xy?y代xy，用0代x，用0代y即得方程 222xy?xy0x?xy?yAx0x?B?0?Cy0y?D?0?E?0?F?0，曲线的切线，切点弦，
222中点弦，弦中点方程均可由此方程得到.
98．证明直线与直线的平行的思考途径
（1）转化为判定共面两直线无交点；（2）转化为两条直线同时与第三条直线平行； （3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行. 99．证明直线与平面的平行的思考途径
（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行. 100．证明平面与平面平行的思考途径
11
11
（1）转化为判定两平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直. 101．证明直线与直线的垂直的思考途径
（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为该线与另一线的射影垂直； （4）转化为该线与形成射影的斜线垂直. 102．证明直线与平面垂直的思考途径
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 103．证明平面与平面的垂直的思考途径
（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直. 104.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律
(1)加法交换律：a＋b=b＋a．(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)． (3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．
105.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广
始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 106.共线向量定理
对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b?存在实数λ使a=λb．
????????????????????P、A、B三点共线?AP||AB?AP?tAB?OP?(1?t)OA?tOB.
????????????????AB||CD?AB、CD共线且AB、CD不共线?AB?tCD且AB、CD不共线.
107.射影公式
????'已知向量AB=a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量.作A点在l上的射影A，作B
????'点在l上的射影B，则A'B'?|AB|cos〈a，e〉=a·e
108.向量的直角坐标运算
设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)则
(1)a＋b＝(a1?b1,a2?b2,a3?b3)；(2)a－b＝(a1?b1,a2?b2,a3?b3)； (3)λa＝(?a1,?a2,?a3) (λ∈R)；(4)a·b＝a1b1?a2b2?a3b3；
????????????109.设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则AB?OB?OA= (x2?x1,y2?y1,z2?z1).
110．空间的线线平行或垂直
rr设a?(x1,y1,z1)，b?(x2,y2,z2)，则
?x1??x2rrrrrrrrrr?aPb?a??b(b?0)??y1??y2；a?b?a?b?0?x1x2?y1y2?z1z2?0.
?z??z2?1a1b1?a2b2?a3b3a?a?a2212223111.夹角公式
设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则cos〈a，b〉=222222.
23b?b?b2122推论 (a1b1?a2b2?a3b3)?(a1?a2?a3)(b1?b2?b3)，此即三维柯西不等式. 112．异面直线所成角
rrrr|a?b|cos??|cos?a,b?|=rr?|a|?|b|oo|x1x2?y1y2?z1z2|x?y?z?x2?y2?z2212121222 rrb所成角，a,b分别表示异面直线a,b的方向向（其中?（0???90）为异面直线a,量）
12
12
??????AB?m?????(m为平面?的法向量). 113.直线AB与平面所成角??arcsin???|AB||m|?????????m?nm?n114.二面角??l??的平面角??arccos???或??arccos???（m，n为平面?，?|m||n||m||n|的法向量）
115.三余弦定理
设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为?1，AB与
AC所成的角为?2，AO与AC所成的角为?．则cos??cos?1cos?2. 116.空间两点间的距离公式
若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则 117.异面直线间的距离
????????????dA,B=|AB|?AB?AB?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2.
????????|CD?n|?(l1,l2是两异面直线，其公垂向量为n，C、D分别是l1,l2上任一点，d为d?|n|l1,l2间的距离).
118.点B到平面?的距离
???????|AB?n|??（n为平面?的法向量，AB是经过面?的一条斜线，A??）. d?|n|119.异面直线上两点距离公式：（?为二面角E?AA'?F的大小）.
(两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段AA的长度为h.在直线a、b上分别取
'd?h2?m2?n2?2mncos? ???2?2?2?2??????120.三个向量和的平方公式：(a?b?c)?a?b?c?2a?b?2b?c?2c?a
121. 长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为l1、l2、l3，夹角分别为
'两点E、F，AE?m,AF?n,EF?d).
?1、?2、?3,则有
2l2?l12?l2?l32?cos2?1?cos2?2?cos2?3?1?sin2?1?sin2?2?sin2?3?2.
S'122. 面积射影定理：S?.
cos?(平面多边形及其射影的面积分别是S、S，它们所在平面所成锐二面角的为?).
42123.的半径是R，则其体积V??R3,其表面积S?4?R．
3124.球的组合体
(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直
径是正方体的面对角线长, (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为a的正四面体的内切球的半径为6a,外接球的半
12'径为6a
4125.体、锥体的体积
V柱体?Sh（S是柱体的底面积、h是柱体的高）
13
13
1V锥体?Sh（S是锥体的底面积、h是锥体的高）
3126.分类加法原理（加法原理）
N?m1?m2???mn. 127.分步计数原理（乘法原理）
N?m1?m2???mn. 128.排列数公式
m=n(n?1)?(n?m?1)=Ann！*
.(n，m∈N，且m?n)．注:规定0!?1.
(n?m)！129.排列恒等式
nn?1nmmm?1mm?1（1）An；（2）；（3）； nA?A?AA?A?mA?nAnnn?1nn?1nn?1(4) 1!?2?2!?3?3!???n?n!?(n?1)!?1. 130.组合数公式
Cmn=
Anmn(n?1)?(n?m?1)n！*
==(∈N，m?N，且m?n). nm1?2???mm！?(n?m)！Am131.组合数的两个性质
mmn?mm?1m0(1)Cn=Cn ;(2) Cn+Cn=Cn?1；注:规定Cn?1.
132.组合恒等式
nnm?1nrrr?1（1）C?Cn?1； （2）?Cn=2； （3）Crr?Crr?1?Crr?2???Cn ?Cn?1；
mr?0mn135024(4)Cn?Cn?Cn???Cn?Cn?Cn???2n?1； mm133.排列数与组合数的关系：An . ?m！?Cn0n1n?12n?22rn?rrnn134.二项式定理 (a?b)n?Cna?Cnab?Cnab???Cnab???Cnb ;
rn?rr1，2?，n). 二项展开式的通项公式Tr?1?Cnab(r?0，135.等可能性事件的概率P(A)?m. n136.互斥事件A，B分别发生的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
137.n个互斥事件分别发生的概率的和P(A1＋A2＋?＋An)=P(A1)＋P(A2)＋?＋P(An)．
138.独立事件A，B同时发生的概率P(A·B)= P(A)·P(B).
139.n个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·?· An)=P(A1)· P(A2)·?· P(An)．
kkn?k140.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率P(k)?CP(1?P). nn141.离散型随机变量的分布列的两个性质：（1）P（2）P,2,?)；i?0(i?11?P2???1. 142.数学期望E??x1P1?x2P2???xnPn??
143.数学期望的性质
（1）E(a??b)?aE(?)?b.（2）若?～B(n,p),则E??np.
(3) 若?服从几何分布,且P(??k)?g(k,p)?q22k?1p，则E??21. p144.方差D???x1?E???p1??x2?E???p2????xn?E???pn?? 145.标准差??=D?.
14
14
146.方差的性质
(1)D?a??b??a2D?；(2）若?～B(n,p)，则D??np(1?p).
(3) 若?服从几何分布,且P(??k)?g(k,p)?qk?1p，则D??2q. 2p2147.方差与期望的关系D??E???E??.
. 153.f(x)在
x0处的导数（或变化率或微商）：
f(x0??x)?f(x0)?y?lim. x?x0?x?0?x?x?0?x?ss(t??t)?s(t)?lim154.瞬时速度??s?(t)?lim.
?t?0?t?t?0?t?vv(t??t)?v(t)?lim155.瞬时加速度a?v?(t)?lim.
?t?0?t?t?0?tdydf?yf(x??x)?f(x)??lim?lim156.f(x)在(a,b)的导数f?(x)?y??. dxdx?x?0?x?x?0?x157. 函数y?f(x)在点x0处的导数的几何意义： f?(x0)?y??lim函数y?f(x)在点x0处的导数是曲线y?f(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率
f?(x0)，相应的切线方程是y?y0?f?(x0)(x?x0).
158.几种常见函数的导数
(1) C??0（C为常数）；(2) (xn)'?nxn?1(n?Q).(3) (sinx)??cosx；(4)
(cosx)???sinx； (5) (lnx)??11；(logax)??logae；(6) (ex)??ex; xx'''''(ax)??axlna；
159.导数的运算法则：（1）(u?v)?u?v；（2）(uv)?uv?uv；（3）
'u'u'v?uv'()?(v?0). vv2160.复合函数的求导法则
设函数u??(x)在点x处有导数ux'??'(x)，函数y?f(u)在点x处的对应点U处有
'''导数yu'?f'(u)，则复合函数y?f(?(x))在点x处有导数，且yx，或写作?yu?uxfx'(?(x))?f'(u)?'(x).
161.判别f(x0)是极大（小）值的方法：当函数f(x)在点x0处连续时，
（1）如果在x0附近的左侧f?(x)?0，右侧f?(x)?0，则f(x0)是极大值； （2）如果在x0附近的左侧f?(x)?0，右侧f?(x)?0，则f(x0)是极小值. 162.复数的相等：a?bi?c?di?a?c,b?d.（a,b,c,d?R）
163.复数z?a?bi的模（或绝对值）：|z|=|a?bi|=a2?b2. 164.复数的四则运算法则
(1)(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i;(2)(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i;
(3)(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i; (4)(a?bi)?(c?di)?165.复数的乘法的运算律
ac?bdbc?ad?i(c?di?0).
c2?d2c2?d215
15
对于任何z1,z2,z3?C，有交换律:z1?z2?z2?z1；结合律:(z1?z2)?z3?z1?(z2?z3)；
分配律:z1?(z2?z3)?z1?z2?z1?z3 ；
166.复平面上的两点间的距离公式
d?|z1?z2|?(x2?x1)2?(y2?y1)2（z1?x1?y1i，z2?x2?y2i）.
167.实系数一元二次方程的解：实系数一元二次方程ax?bx?c?0，①若
2b?b?b2?4ac2??b?4ac?0,则x1,2?;②若??b?4ac?0,则x1?x2??;
2a2a2③若??b?4ac?0，它在实数集R内没有实数根；在复数集C内有且仅有两个共轭
2复数根??(b2x??b?4ac)i(b2?4ac?0)
2a
16
16