两条线段和最短问题
一、轴对称的应用：
1.点A、B为两工厂在河边建供水站，在哪建供水站铺设管道最短？
2. 已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值= ．
3如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F为AB上的一点，AF=2，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为______。
[
1
4.如图，菱形ABCD的边长为6，∠DAB=600，点P是对角线AC上一动点，Q是AB的中点，则BP+PQ的最小值是 。
5.如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E．若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是 ．
6.如图，抛物线y=
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x+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（-1，0）． 2求：（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．
7．(12分)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－2，－4)，OB＝2，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A、O、B三点． (1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点M是抛物线对称轴上一点，试求AM＋OM的最小值；
(3)在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
y
A B O x 2
8．（本小题满分9分）如图1，抛物线y??22x?bx?c与x轴相交于点A，C，与y轴相3交于点B，连接AB，BC，点A的坐标为（2，0），ant?BAO2?.以线段BC为直径作⊙M交AB于点D.过点B作直线l∥AC，与抛物线和⊙M的另一个交点分别是E，F.
（1）求该抛物线的函数表达式； （2）求点C的坐标和线段EF的长；
（3）如图2，连接CD并延长，交直线l于点N.点P，Q为射线NB上的两个动点（点P在点Q的右侧，且不与N重合）线段PQ与EF的长度相等，连接DP，CQ，四边形CDPQ的周长是否有最小值？若有，请求出此时点P的坐标并直接写出四边形CDPQ周长的最小值；若没有，请说明理由. 28．解：（1）∵点A（2，0），ant?BAO2?，∴AO=2，BO=4，
∴点B的坐标为（0，4）.（1分）
2?8?22???2b?c?0，?b??，∵抛物线y??x?bx?c过点A，B，∴?3（2分）解得?3
3???c?4?c?4.222x?x?4.（3分） 33222（2）解法一：在图1中连接CF，令y?0，即?x?x?4?0，
33∴此抛物线的解析式为y??
解得x1??3，x2?2
∴点C坐标为（－3，0），CO=3（4分） 令y?4，即?
222， x?x?4?4，解得x1?0，x2??1，∴点E坐标为（－1，4）
333
∴BE=1，（5分）
∵BC为⊙O直径，∴∠CFB=90°，又∵BO⊥AC，l//AC，∴BO⊥l， ∴∠FBO=∠BOC=90°，
∴四边形BFCO为矩形，∴BF=CO=3，∴EF=BF-BE=3-1=2（6分） 解法二：∵抛物线对称轴为直线x??12， ∴点A的对称点C的坐标为（－3，0），（4分） 点B的对称点E的坐标为（-1，4）（5分） ∵BC是⊙M的直径，∴点M的坐标为（?32,2） 如图2，过点M作MG⊥FB，则GB=GF，
图2
∵M（?32,2），∴BG=32，∴BF=2BG=3， ∵点E的坐标为（－1，4），∴BE=1， ∴EF=BF－BE=3－1=2（6分）
（3）四边形CDPQ的周长有最小值（7分） 理由如下：∵BC?OC2?OB2?32?42?5，
AC=OC+OA=3+2=5，∴AC=BC
∵BC为⊙M直径，∴∠BDC=90°，即CD⊥AB，∴D为AB中点， ∴点D的坐标为（1，2）
作点D关于直线l的对称点D1?1，6?，点C向右平移2个单位得点C1??1，0?，连接C1D1与直线l交于点P，点P向左平移两个单位得点Q， 四边形CDPQ即为周长最小的四边形.
解法一：设直线D??m?n?0，1D的函数表达式为y?mx?n，∴?∴??m?n?6?m?3，?n?3∴直线C1D1的表达式为y?3x?3
4
∵yp?4，∴xp?11，∴点P的坐标为（，4）（8分） 33解法二：如图3，直线D1D交直线l于点H，交x轴于点K，易得D1K⊥C1K，D1H⊥PH， 由题意可知D1H=2，D1K=6，C1K=2，由直线l//x轴，易证△D1PH∽△D1C1K，
∴
DHPH221?1，∴PH?，∴BP?BH?PH?1??， C1KD1K333∴点P的坐标为(,4)（8分）
C四边形CDPQ最小=25?210?2（9分）
注：本试卷解答题的其他正确解法，请参照上述参考答案及评分意见酌情赋分。
1324．(12分)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－2，－4)，OB＝2，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A、O、B三点． (1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点M是抛物线对称轴上一点，试求AM＋OM的最小值；
(3)在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形．若存
y 在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：解：（1）由OB＝2，可知B(2,0)
将A(－2，－4)，B(2,0)，O(0,0)三点坐标代入抛物线y＝ax2＋bx＋c，得
B O x ??4?4a?2b?c??0?4a?2b?c?0?c?A
1a??，b?1，c?02解得：
1y??x2?x2∴抛物线的函数表达式为。
111y??x2?x??(x?1)2?222，可得，抛物线的对称轴为直线x?1，且对称轴（2）由
x?1是线段OB的垂直平分线，连结AB交直线x?1于点M，即为所求。
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