2017年福州大学研究生有限元试卷（第五组）
一、 判断题（共10题，每小题1分，共10分）
（√）1.四结点四边形等参单元的位移插值函数是坐标x、y的一次函数。 （√）2.在三角形单元中，其面积坐标的值与三结点三角形单元的结点形函数值相等。
（×）3.有限元位移法求得的应力结果通常比应变结果精度低。
（×） 4.平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚来作模型化 处理的话会得到一样的答案 。
（×）5.不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型。
（√）6.在三角形单元中，其面积坐标的值与三结点三角形单元的结点形函数值相等。
（√）7.等参单元中Jacobi行列式的值不能等于零。
（×）8.所谓全约束只要将位移自由度约束住，而不必约束转动自由度。 （×）9.在位移型有限元中，单元交界面上的应力是严格满足平衡条件的。 （√）10.在平面三结点三角形单元中，位移、应变和应力具有位移呈线形变化，应力和应变为常量特征。
二、 简答题（50分）（前面5题每小题8分，最后一题10分，共50分）
(1) 何为平面应力问题，何为平面应变问题？
平面应力：
几何特征：一个方向的尺寸比另外两个尺寸小的多，如薄平板。 外力和约束仅平行于板面作用（外力只作用在板的周面），而且垂直于板面不受应力。 平面应变：
几何特征:一个方向的尺寸比另外两个尺寸大得多，如圆柱体或者厚壁圆筒。
外力作用方向垂直于轴线，物体沿长度方向不发生变形。 (2) 什么是等参单元？等参单元有哪些特点？
等参数单元（简称等参元）就是对单元几何形状和单元内的参变量函数采用相同数目的节点参数和相同的形函数进行变换而设计出的一种新型单元。用于有限元法的分析。
特点：
a) 可以模拟曲线和曲面边界，适用于处理各种复杂边界条件。
b) 这种单元具有较高次的位移模式，能更好地反映结构的复杂应力分布
情况，计算精度较好。
c) 推导过程具有通用性。一维、二维、三维的推导方法基本相同
d) 适用范围广。在平面和空间连续体、杆结构、板壳问题中都可以使用。 e) 可以灵活的增减结点，容易构造各种过渡单元。
优点：可以采用高阶次位移模式，能够模拟复杂几何边界，方便单元刚度矩阵和等效节点载荷的积分运算。
(3) 证明三节点三角形是完备协调单元？
完备单元：位移函数必须包括单元的刚体位移
位移函数必须包括单元的常应变
协调单元：位移函数在单元内必须连续，在相邻单元间必须协调 三节点三角形单元的位移函数为
??a1?a2x?a3y?a1?a2x???a4?a5x?a6y?a4?a6y?则 应变
a5?a3a?ay?53y 22a5?a3a?ax?53x 22?x??y????a2 ?x???a6 ?y??????a3?a5 ?y?x?xy?以上式子体现了弹性体的位移和常应变，所以三结点三角形单元是完备单元。
由于位移函数是多项式，所以位移在单元内是连续的，任意的两个相邻的三角形单元的结点是相同的，又因为位移函数在单元内是线性函数，在公共边上也是线性函数。所以相邻单元之间是协调的。 综上，三结点三角形单元是完备协调单元。 (4) 整体刚度矩阵的性质
a) 对称性 b) 稀疏性
c) 非零元素呈带状分布 d) 奇异性
e) 主对角线元素全为正数
(5) 有限元划分网格应该注意哪些问题？
f) 单元长细比最好不大于2
g) 集中力作用点，分布载荷突变点，约束支承点应选为节点 h) 应力变化激烈区域划分细一些，应力变化平缓区划分粗一些 i) 在计算数据变化梯度较大的部位(如应力集中处)，为了较好地反映数
据变化规律，需要采用比较密集的网格。
j) 为了兼顾计算精度和计算量，同一结构可以采用不同阶次的单元，
即精度要求高的重要部位用高阶单元，精度要求低的次要部位用低阶单元。
k) 单元在交界面处必须协调。
l) 应当利用结构的对称性和反对称性划分网格。
(6) 有限元分析的步骤及应注意的问题？
a) 结构的离散化 b) 选择位移模式 c) 分析单元的力学特性
d) 集合所有单元平衡方程，得到整体结构的平衡方程 e) 由平衡方程求解未知节点位移 f) 单元应变和应力的计算
三、 计算题（每小题20分，共40分）
1.如图桁架单元，结点坐标如图所示，已知面积A?10cm2，材料E?2.0GPa，整体坐标下的位移为???e??试确定两结点的轴向位1.51.02.04.0??10?2cm。移??'?e和杆的应力。
解：l??x2?x1?2??y2?y1?2??50?10?2??40?10?2?50(cm)
cos??x2?x150?10??0.8 l50y2?y140?10??0.6 l50
sin??2）求结点位移
由式（13-16），注意到v'i?v'j?0，得
??'?e???u'i??cos?????u'j??0sin?00cos??ui???0??vi??u? ?sin???j??vj????1.5??0???0.80.60?1.8??1.0??2?2???10??????10(cm) ?00.80.6??2.0??0?4.0???4.0??3）求解杆应力
??E??cos?l?sin?cos?sin?????e?1.5? ?1.0?2?109????0.8?0.60.80.6????10?2?8.8?106N/cm2?50?2.0???4.0??2.一长方形薄板如图所示。其两端受均匀拉伸P。板长12cm,宽4cm，厚1cm。
5材料E?2.0?10MPa，泊松比??0.3。均匀拉力p?5MPa。使用有限元法求
解板的内应力，并和精确解比较（提示：可利用结构对称性，并用2个三角形单元对结构进行离散）。
解：结点编号 1 X坐标 0 Y坐标 0
2 3 4 单元号 12 0 12 相邻结点 1 0 4 4 2 3
y11x12??1x2y2?0.0024m21x3y平面三角形单元的面积均为 3
0??2.19780.6593??1011D??0.65932.19780???00.7692??0?应力矩阵为：
1
2 3 2 4
单元1的应变距阵为：
016.6667000???16.6667?B(1)??0?2500025????16.6667016.6667250???25? 单元1的单元刚度矩阵为：
0.7143?0.7326?0.3846?0.5769?1.3095?0.71431.9048?0.3297?0.2564?0.3846???0.7326?0.32970.732600K(1)??00.25640.3846??0.3846?0.2584??0.5729?0.384600.38460.5769?00???0.3297?1.64840.3297单元2的应变距阵为： B(2)?0.3297??1.6484??0.3297?9??100??0?1.6484??
016.66670?16.66670?0????0?2502500???2516.66670?16.6667???250?
单元2的单元刚度矩阵为：
?0.5769?0???0.5769K(2)????0.3846?0???0.3846总刚度矩阵为：
0.3846??1.6484?0.3297?1.64840.32970??0.32971.30950.7143?0.7326?0.3846?9??10?1.64840.71431.9048?0.3297?0.2564??0.3297?0.7326?0.32970.73260?0?0.3846?0.256400.2564??
0?0.5769?0.38460?1.3095?0.7143???0.7326??0.3846?K???0.5769???0.3297?0?0??位移分量为：载荷列阵为：
0.71431.9048?0.3297?0.2564?0.3846?1.648400?0.7326?0.32971.3095000.7143?0.5769?0.3846?0.3846?0.256401.90480.71430?0.3297?1.6484?0.5769?0.384600.71431.30950?0.7326?0.3297?0.3297?1.64840.7143001.9048?0.3846?0.256400?0.5769?0.3297?0.7326?0.38461.30950.71430??0??0.3846???1.6484??109?0.3297???0.2564?0.7143??1.9048???8?1??0,v1,u2,v2,0,v3,u4,v4?
R8?1??Fx1,0,1000,0,Fx3,0,1000,0?
因为 R8?1?K8?8??8?1
?5????0,?0.0649,0.15,?0.0369,0,?0.0525,0.15,?0.0726?10m 可以得8?1单元1的单元应力：单元2的单元应力：
MPa?x?5.7000MPa ?y?2.3332MPa ?xy?0.3245 MPa?x?4.9505MPa ?y??0.1648MPa ?xy??0.2583
长方形薄板内应力的精确解为：拉应力5MPa，用有限元法求解出的结果与精确解大致相等。